Задача К 1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.

Задача К 1а.

Точка В движется в плоскости ху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К 1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х=f₁(t), у=f₂(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1 с, определить скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х=f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у=f₂(t) дана в табл. К 1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C 1-С 4, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; а номер условия в табл. К 1-по последней.

Задача К 1б.

Точка движется по дуге окружности радиуса R=2м по закону s=f(t), заданному в табл. К 1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где s=AM – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1 с. Изобразить на рисунке векторы и a, считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s-от А к М.

 

Пример К 1а.По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию её движения в заданный момент времени t=1c, найти скорость и ускорение.

(см),

(см).

Решение:

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

,

.

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем:

.

Таким образом,

.

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).

Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t=1с, в уравнения:

см,

см.

Тогда точка М с координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t=0 с.

см,

см.

Тогда точка М₀ имеет координаты (15; - 4).

Точки М и М₀ принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идёт от точки М₀ в момент времени t =0 c, к точке М, когда t =1 с (против движения часовой стрелки).

2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси:

.

Определим проекцию скорости точки М на ось Ох:

.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

см/с.

Так, как V_x= -10,9<0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси Ох в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанных на схеме.

Определим проекцию скорости точки М на ось Оу:

.

В заданный момент времени t =1 с, проекция скорости составит:

см/с.

Так, как V_y=3,14>0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси Оу в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор .

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости точки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):

см/с.

3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси:

.

Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох:

.

В заданный момент времени t =1с, проекция ускорения составит:

см/с².

Так, как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси Ох в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанного на схеме.

Определим ускорение скорости точки М на ось Оу:

.

В заданный момент времени t = 1с, проекция ускорения составит:

см/с².

Так, как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси Оу в сторону отрицательных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор .

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения точки М в заданный момент времени:

см/с².

Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат:

см/с².

Так, как , то вектор ускорения направлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости (движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения:

см/с².

Вектор ускорения направлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений.

Так, как векторная сумма ускорений справедлива, то решение верно.

Определим радиус кривизны траектории в заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени:

см.

Пример К 1б.Точка движется по дуге окружности радиуса R=2 м по закону (s-в метрах, t-в секундах), где s-AM (рис. К 1б). Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1 с.

Решение.

Определяем скорость точки:

При t₁=1 с, получи м/с.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

При t₁=1 с, получим, учитывая, что R=2 м,

Тогда ускорение точки при t₁=1 с, будет:

Изобразим на рис. К 1б векторы и учитывая знаки ₁ и а_1t и считая положительным направление от А к М.

 

Задача К2.

Механизм состоит из: ступенчатых колес 1–3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁=2 см, R₁=4см, у колеса 2 – r₂=6 см, R₂=8см, у колеса 3 – r₃=12 см, R₃=16 см. На ободьях колес расположены точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где j₁(t) – закон вращения колеса 1, s₄(t) – закон движения рейки 4, w₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, ₅(t) –закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде j выражено в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для j и w против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и ₄,₅ – вниз.

Определить в момент времени t₁=2с, указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (– линейные, w – угловые) и ускорения (а – линейные, – угловые) соответствующих точек или тел (₅ – скорость груза 5 и т. д.).

Пример К2.

Рейка 1, ступенчатое колесо 2с радиусами R₂=6 см и r₂=4 сми колесо 3радиуса R₃=8 см, скрепленное с валом радиуса r₃=3 см, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=3t³ см. Определить: w₃, ₄,₃, в момент времени t=t₁=3 си ускорение a_A точки А обода колеса 3.

Решение.

1.Определить угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:

(1).

Так, как рейка и колесо 2находятся в зацеплении, то ₂=₁или w₂R₂=₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, ₂=₃или w₂r₂=w₃R₃. Из этих равенств находим:

(2).

Тогда, для момента времени t₁=3 с, получим w₃=6,75 с^-1.

2. Определить ₃. Учитывая второе из равенств (2), . Тогда при t₁=3с:

₃=4,5 с^-2.

3. Определить ₄. Так как ₄=_B=w₃r₃,то при t₁=3 с Þ ₄=20,25 см/с.

4. Определить а_А.Для точки А а_А=а_Аt+а_Аn,где численно а_Аt=R₃₃, а_Аn=R₃w₃². Тогда, для момента времени t₁=3 с:

а_Аt=36 см/с² ,

а_Аn=364,5 см/с²,

см/с².

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Ответ: w₃=6,75 с^-1; ₄=20,25 см/с; ₃=4,5 с^-2; а_А=366,3 см/с².

 

Задача К З.

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4иползуна В или Е (рис. К З.0-К 3.7) или из стержней 1,2,3и ползунов В и Е (рис. К 3.8, К 3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно: l₁=0,4 м, l₂=1,2 м, l₃=1,4м, l₄=0,6 м. Положение механизма определяется углами a, , , j, . Значения этих углов и других заданных величин, указаны втабл. К 3а (для рис. 0-4) или в табл. К 3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К За w₁ и w₄-величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки, на рисунках, показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки(например, угол на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9-против хода часовой стрелки и т. д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К 3 (см. рис. К 3б). Заданные, угловую скорость и угловое ускорение, считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость _В и ускорение а_В от точки В к b (на рис. 5-9).

 

 

 

Пример КЗ.

Механизм (рис. К 3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁и О₂ шарнирами.

Дано: a=60°, =150°, =90°, j=30°, =30°, AD=DB, l₁=0,4м, l₂=1,2 м, l₃=1,4 м, ₁=2 с^-1, =7 с^-2 (направления (₁ и ₁-против хода часовой стрелки).

Определить: _B, _E , ₂, а_B, ₃.

Решение.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К 3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем _B. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти _B, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление _B. По данным задачи, учитывая направление ₁, можем определить _А, численно:

Направление _В найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная _А инаправление _B, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор _B (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки).Затем, вычисляя эти проекции, находим:

3. Определяем _Е. Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить _Е,надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная _A и _B, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к _А и _B, восставленных из точек А и В (к _А перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора _A определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₃. Вектор _D перпендикулярен отрезку C₃D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину _D найдем из пропорции:

Чтобы вычислить С₃D и С₃В, заметим, что AС₃В-прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С₃В=АB×sin30°=0,5АВ=BD. Тогда ВС₃D является равносторонним и С₃В=C₃D. В результате равенство дает:

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то _Е ^ О₂E. Тогда, расставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям _Е и_D,построим МЦС С₂стержня DE. По направлению вектора _D определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С₂. Вектор _E направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К 3б видно, что ÐC₂ED=ÐC₂DE=30°, откуда С₂Е=C₂D. Составив теперь пропорцию, найдем, что:

4. Определяем ₂. Так, как МЦС стержня 2известен (точка С₂)и

, то

5. Определяем а_В (рис. К 3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти а_В, надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить a_А=a_А^t+a_Аⁿ, где численно:

Вектор а_Аⁿ направлен вдоль АО₁,а а_А^t-перпендикулярно АО₁изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К 3в). Так, как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор а_B параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор а_B на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и _B.

Для определения а_B воспользуемся равенством:

Изображаем на чертеже векторы аⁿ_ВА (вдоль ВА от B к A) и а_ВА^t(в любую сторону перпендикулярно ВА); численно аⁿ_B=²3l. Найдя ₃ с помощью построенного МЦС С₃ стержня 3, получим:

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения а_В и а^t_ВА,их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить а_В, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х),перпендикулярное неизвестному вектору а^t_ВА. Тогда получим:

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что:

a_B=0,72 м/с².

Так, как получилось a_В>0, то, следовательно, вектор а_В направлен, как показано на рис. К Зв.

6. Определяем ₃. Чтобы найти ₃, сначала определим а^t_ВА. Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что а^t_ВА=-3,58 м/с². Знак указывает, что направление а^t_ВА противоположно показанному на рис. К 3в.

Теперь из равенства а^t_ВА=₃l₃ получим:

Ответ: _B=0,46 м/с; _E=0,46 м/с; ₂=0,67 с^-1; а_B=0,72 м/с²; ₃=2,56 с^-2.

 

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К 4.0-К 4.4) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К 4.5-К 4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j=f₁(t) заданному в табл. К 4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО₁лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0-4) или по окружности радиуса R (рис. 5-9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость s=AM=f₂(t)(s-в сантиметрах, t-в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0-4 и для рис. 5-9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s=AM>0 (при s<0 точка М находится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁=1с.

 

 

 

Пример К4а.

Рис. К3а

 

Определим все входящие в равенства (58) величины.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону

s = = p×R× cos(pt/3).

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t₁. Полагая в уравнении (59) t₁ = 2 с, получаем

s = p×R× cos(2p/3) = - 0,5pR.

Тогда

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t₁ = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка В₁).

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = t² – 0,5×t³. Найдем сначала угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

= 2×t – 1,5×t², = 2 – 3×t;

и при t₁ = 2 с

w = – 2 c^–1, e = – 4 с^–2.

Знаки указывают, что в момент t₁ = 2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а.

Для определения и находим сначала расстояние h₁ = OB₁точки B₁ от оси вращения О. Из рисунка видно, что h₁ = 2R× = 1,41 м. Тогда в момент времени t₁ = 2 с, получим

V_пер = |w|×h₁ = 2,82 м/с,

 

= |e|×h₁ = 5,64 м/с², = w²×h₁ = 5,64 м/с²

Изображаем на рис. К3а векторы и с учетом направлений w и e и вектор (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле а_кор = 2× |V_отн| × |w| × sin a, где a – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени t₁ = 2 с, так как в этот момент |V_отн| = 1,42 м/с и |w| = 2 с^-1, получим

а_кор = 5,68 м/с².

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении w, т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учтя, что = 2×( ´ ).

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (58) векторов найдены и для определения V_абс и а_абс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение V_абс. Проведем координатные оси В₁ху(см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства = + на эти оси. Получим для момента времени t₁ = 2 с:

V_{абс х} = V_{отн х} + V_{пер х} = 0 - |V_пер| × сos 45° = - 1,99 м/с,

V_{абс у} = V_{отн у} + V_{пер у} = |V_отн| + |V_пер| × сos 45° = 3,41 м/с.

После этого находим

м/с.

Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение V_абс можно еще определить по формуле

м/с.

5. Определение а_абс. По теореме о сложении ускорений

.

Для определения спроецируем обе части равенства (64) напроведенные оси В₁ху. Получим:

а_{абс х} = + а_кор + × cos 45° - | |× cos 45°,

а_{абс y} = × cos 45° + | |× cos 45° - | |.

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t₁ = 2 с, найдем, что в этот момент

а_{абс х} = 9,74 м/с²; а_{абс y} = 7,15 м/с².

Тогда

м/с².

Ответ: V_абс = 3,95 м/с, а_абс = 12,08 м/с².

Пластина OEAB₁D (ОЕ=OD, рис. К4а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j=f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону s=АВ=f₂(t) (положительное направление отсчета s – от А к В).

Дано: R=0,5 м, j=t²–0,5t³, s=Rcos(t/3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить: V_абс и а_абс в момент времени t₁=2 с.

Решение.Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины переносным движением. Тогда абсолютная скорость V_абс и абсолютное ускорение а_абс точки найдутся по формулам:

= + ,

= + + ,

где, в свою очередь, = + , = + .

Определим все, входящие в равенства, величины. Рассмотрим каждое движение в отдельности.

1. Относительное движение (мысленно остановить вращение пластины вокруг опоры О). Это движение происходит по закону .

Положение точки В на дуге окружности в момент времени t₁=2 с:

.

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t₁=2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К4а в этом положении (точка B₁).

Тогда .

Теперь находим числовые значения V_отн, а^t_отн, аⁿ_отн:

;

,

где – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента t₁=2 с, учитывая, что R=0,5 м, получим:

;

.

Знаки показывают, что вектор а^t_отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор V_отн-в противоположную сторону; вектор аⁿ_отн направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. К4а.

2. Переносное движение (мысленно остановить движение точки по окружности). Это движение (вращение) происходит по закону j=t² – 0,5t³. Найдем угловую скорость w и угловое ускорение переносного вращения при t₁=2 с:

Знаки указывают, что в момент t₁=2 с направления w и противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К4а.

Для определения V_пер и а_пер находим сначала расстояние h₁=ОВ₁ точки B₁ от оси вращения О. Из рисунка видно, что . Тогда в момент времени t₁=2 с получим:

;

.

Изображаем на рис. К4а векторы V_пер и a^t_перс учетом направлений w и и вектор аⁿ_пер (направлен к оси вращения).

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле , где a – угол между вектором V_отн и осью вращения (вектором w). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор V_отн. Тогда в момент времени t₁=2 с, учитывая, что в этот момент |V_отн|=1,42 м/с и |w|=2 с^-1, получим

а_кор=5,68 м/с².

Направление а_корнайдем по правилу Н. Е. Жуковского: так как вектор _отнлежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90⁰ в направлении , т. е. по ходу часовой стрелки. Изображаем а_кор на рис. К4а. [Иначе направление а_кор можно найти, учтя, что а_кор=2(*_отн)].

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения _абс и а_абс остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение _а6с. Проведем координатные оси B₁xy (см. рис. К4а) и спроектируем почленно обе части равенства

_абс=_отн+_перна эти оси. Получим для момента времени t₁=2 с;

После этого находим

Учитывая, что в данном случае угол между _отн и _перравен 45°, значение _абсможно еще определить по формуле

5. Определение а_абс.По теореме о сложении ускорений

Для определения а_абс спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси B₁xy. Получим

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t₁=2 с, найдем, что в этот момент

а_абсх=9,74 м/с²; а_авсу=7,15 м/с²

Тогда

Ответ: _а6с=3,95 м/с, а_абс=12,08 м/с².

 

 

Пример К4б.

Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j = f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка Впо закону s = АВ = f₂(t); положительное направление отсчета s – от А к D.

Дано: j = 0,1× t³–2,2× t, s = АВ = 2 + 15× t – 3×t²; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: V_абс и а_абс в момент времени t₁ = 2 с.

Решение. Рассмотрим движение точки В, как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

= + , = + + ,

где, в свою очередь, = + .

Определим все входящие в равенство величины.

1. Относительное движение - это движение прямолинейное и происходит по закону

s = AB = 2 + 15t - 3t²,

поэтому

В момент времени t₁ = 2 с имеем

s₁ = AB₁ = 20 cм, V_отн = 3 см/с, а_отн = - 6 см/с²

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К3б.

 

Рис. К3б

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1×t³ - 2,2t.

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения: w = = 0,3t² - 2,2; e = = 0,6t и при t₁ = 2 с,

w = - 1 c^-1, e = 1,2 c^-2.

Знаки указывают, что в момент t₁ = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z:

h₁ = AB₁× sin 30° = 10 см. Тогда в момент t₁ = 2 с, учитывая равенства (68), получаем:

V_пер = |w|×h₁ = 10 cм/с,

= |e|×h₁ = 12 см/с², = w²×h₁ = 10 см/с².

Изобразим на рис. К3б векторы и (с учетом знаков w и e)и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В₁С к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t₁ = 2с

а_кор = 2×|V_отн| × |w| × sin 30° = 3 см/с².

Направление найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону w, т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).

4. Определение V_абс. Так как = + , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t₁ = 2 с V_абс = 10,44 см/с.

5. Определение а_абс. По теореме о сложении ускорений

= + + + .

Для определения а_абс проведем координатные оси В₁хуz₁ и вычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х₁, а векторы и расположены в плоскости В₁хуz₁, т. е. в плоскости пластины. Тогда, проецируя обе части равенства (71) на оси В₁хуz₁ и учтя одновременно равенства (67), (69), (70), получаем для момента времени t₁ = 2 с:

а_{абс х} = | | – а_кор = 9 см/с²,

а_{абс у} = + |а_отн|×sin 30 ° = 13 см/с²,

а_{абс z} = |а_отн|×cos 30 ° = 5,20 см/с².

Отсюда находим значение а_абс:

см/с².

Ответ: V_абс = 10,44 см/с, а_абс = 16,64 см/с².

Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z по закону j=f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В по закону s=АВ=f₂(t); положительное направление отсчета s-от А к D.

Дано: j=0,1t³-2,2t, s=АВ=2+15t-3t²; (j-в радианах, s- в сантиметрах, t-в секундах) .

Определить: _абс иа_абс в момент времени t₁=2 с.

Решение.Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины - переносным. Тогда абсолютная скорость _абси абсолютное ускорение а_абс найдутся по формулам:

где, в свою очередь, a_neр=a^t_пер+aⁿ_пеp. Определим все входящие в равенство (1) величины.

1. Относительное движение. Это движение прямолинейное и происходит по закону

s=АВ=2+15t-3t²

Поэтому

В момент времени t₁=2 с имеем

s₁=АВ₁=20 см, _отн=3 см/с, а_отн=–6 см/с²

Знаки показывают, что вектор _отн направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор а_отн в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К4б.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону j=0,1t³-2,2t. Найдем угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения: и при t₁=2 с

=-1c^-1, =1,2 с^-2

Знаки указывают, что в момент t₁=2 с направление совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление ему противоположно; Отметим это на рис. К4бсоответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h₁ точки В₁ от оси вращения z: h₁=АB₁sin30°=10 см. Тогда в момент t₁=2 с, учитывая равенства (4), получим

Изобразим на рис. К4б векторы _пер и а^t_пер (с учетом знаков и ) и аⁿ_пер; направлены векторы _пер и а^t_пер перпендикулярно плоскости ADE, а вектор аⁿ_пер по линии B₁C к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором _отн и осью вращения (вектором ) равен 30°, то численно в момент времени t₁=2 с

Направление а_кор найдем по правилу Н. Е. Жуковского. Для этого вектор _отн спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору aⁿ_пеp) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону , т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора а_кор. Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор _пер (см. рис. К4б).

4. Определение _a6<