по подготовке к итоговой аттестации
Задача I.
Вычислить предел:
Решение:
Задача II.
Вычислить неопределённые интегралы:
Решение:
Полагая 
, получим:
Задача III.
Вычислить определённые интегралы:
Решение:
Интегрируем «по частям»:
Пусть 
, тогда 
,
Имеем:
Интегрируем подстановкой.
Положим 
, тогда 
. Если 
, то 
; если 
, то 
.
Поэтому
Заметим, что геометрически данный интеграл площадь круга:
Задача IV.
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
Решение:
в) В данном случае подынтегральная функция 
претерпевает разрыв в точке 
, лежащей внутри отрезка интегрирования 
.
Имеем:
Задача V.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси 
кривой: 
.
Объём фигуры, образованной вращение кривой 
вокруг оси вычисляется по формуле:
Задача VI.
Решить дифференциальные уравнения:
Решение:
Рассмотрим 2 метода решения.
1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа). Решим сначала уравнение 
(линейное однородное уравнение).
Разделяя переменные, получаем:
Найдём решение исходного (линейного неоднородного) уравнения в виде 
, где 
- неизвестная функция, которую надо найти.
Имеем:
Подставим 
в исходное уравнение (линейное неоднородное).
Найденную функцию 
подставим в выражение 
и получим 
- общее решение исходного уравнения.
Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
. Получим 
- искомое частное решение.
2) 
Метод подстановки (введение новых функций 
). Пусть 
, где 
– неизвестные функции.
Имеем:
Поскольку одну из функций ( 
мы можем выбрать произвольно, положим
, при интегрировании мы опускаем модуль и 
, т.к. нас интересует только одна функция, обращающая в нуль второе слагаемое 
.
Итак,
Подставим найденное выражение для 
; получаем:
Получено то же общее решение, что и методом вариации произвольной постоянной.
Это линейное уравнение первого порядка. Поэтому полагаем . Тогда 
. Подставляя выражение для 
и 
в данное уравнение, после группировки членов получим:
Выберем функцию 
так, чтобы выполнялось равенство
После распределения переменных это уравнение приме вид:
Почленное интегрирование дает 
Подставив найденное выражение функции в равенство , получим 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Для нахождения функции 
разделяем переменные и интегрируем:
Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:
Задача VII.
Решить дифференциальные уравнения:
Решение:
а) Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим 
соответственно на 
.
Характеристическое уравнение имеет вид:
Данное уравнение имеет комплексные корни:
так как 
, то 
.
.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющие вид 
, где 
- какой-либо многочлен степени 
.
Общее решение данного уравнения есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения 
и частного решения данного неоднородного уравнения 
:
Частное решение следует искать в виде 
, где 
многочлен степени ; число 
может принимать три значения:
1. 
, если число 
не является корнем характеристического уравнения 
.
2. 
, если число является однократным корнем характеристического уравнения: 
.
3. 
, если число является двукратным корнем характеристического уравнения 
.
Составим характеристическое уравнение, заменив 
и соответственно на .
Характеристическое управление 
имеет корень 
кратности 2.
Общее решение линейного однородного уравнения найдём по формуле:
Подставив корень характеристического уравнения, получаем:
В исходном уравнении правая часть имеет вид:
, т.е. 
Так как 
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного линейного неоднородного уравнения ищется в виде 
.
Для наводнения постоянных 
находим первую и вторую производные от :
Подставляя в исходное уравнение 
,
имеем 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, получаем систему:
, из которой находим 
Следовательно, 
Общее решение уравнения 
.
в) Найти общие и частное решения дифференциального уравнения.
Найдём общее решение дифференциального уравнения.
Для этого составим характеристическое уравнение, заменив соответственно .
Характеристическое уравнение 
имеет корни 
.
Общее решение линейного однородного уравнения найдем по формуле:
Подставив корни характеристического уравнения, получаем:
Так как – однородный корень характеристического уравнения, то частное решение данного линейного неоднородного уравнения ищется в виде:
Подставляя в исходное уравнение 
и 
имеем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:
, из которой находим
Следовательно, 
Общее решение уравнения 
Найдём частное решение, удовлетворяющее условиям:
.
Дифференцируя 
, получим 
Подставляя начальные условия в 
, получаем систему:
Отсюда 
Искомое частное решение имеет вид 
Задача VIII.
Определить область сходимости степенного ряда.
Решение:
Для ряда 
имеем
Найдём радиус сходимости ряда по формуле Д’Аламбера:
Следовательно, ряд обязательно абсолютно сходится, если:
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка 
.
Если 
, то получаем ряд 
. Это гармонический ряд. Он расходится. Если 
, то получаем ряд 
.
Имеем знакочередующийся ряд
Применим признак Лейбница:
Ряд сходится, если 
, т.е. модуль общего члена убывает и стремится к нулю при 
.
1. 
, т.е. модуль общего члена ряда убывает.
2. 
, т.е. модуль общего члена стремится к нулю при .
Ряд сходится условно.
Область сходимости есть промежуток 
, сходимость на ( 
1.2; 0.8) абсолютная.
V. ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Шипачев, В. С. Основы высшей математики. / В. С Шипачев. М.: Высшая школа, 1998.
2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2ч../ Письменный Д, Т. М.: Айрис-пресс, 2006. Ч.1,2.
3. Баврин, И.И. Высшая математика / Баврин И.И. М: Академия, Высшая школа, 2000.
4. Чвялева, М.Д. Методическое пособие по математике/Н.И.Чвялева. Екатеринбург: УрГЭУ, 2008.
Дополнительная
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. М.:ОНИКС XXI век: Мир и Образование, 2003. Ч. I.
2. Шипачев, B.C. Сборник задач по высшей математике. / В.С.Шипачев М.: Высшая школа,2006.
3. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н. и др. М.: Айрис-пресс, 2005.
4. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. / Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н. и др. М.: Айрис-пресс, 2006.
5. Практикум по высшей математике для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.