Екі дененін мселесі. Кеплер задарыны дл трі

Бкіл лемдік тартылыс заынан Кеплерді задарын орытуа болады. Бл жадайда тек екі дене ана – Кн жне планета – арастырылады, йткені, Кнні серіне салыстыранда басаларыны сері те аз. Сондытан арастырылатын есеп «екі денені мселесі» деп аталады.

Айталы, Кнні массасы М, ал оны айналасындаы озалатын планетаны массасы . озалмайты жйені бастапы нктесі ретінде Кнні массалы «С» центрі алып, Р планетаны кнні гравитациялы рісінде озалыс задылытарын анытайы (7-сурет). Р планетаны салыстырмалы деуі

 

 

Егерде (1) деп белгілейтін болса,

Бл деуді координат осьтеріне проекцияларын мына тедеулерден табуа болады.

7-сурет. Кн С жне планета Р
баыттаушы косинустар деп аталып, олар те болады.

 

Сода Р планетаны салыстырмалы озалысыны дифференциалды тедеулері:

(2) системаны жалпы шешулерін іздестірейік. Олар интегралдар деп аталады. Ол шін (2) системаны 3 тедеуін у-ке, ал 2-ші тедеуін -ке кбейтіп, 3-деп 2-ні алып тастайы:

Дл осылай таы екі тедеуді шыарамыз:

 

Осы ш тедеуді интегралдайы, сонда

Бл ш тедеу Р планетаны С Кнні гравитациялы рісіндегі озалысыны бірінші интегралы – ауданды интеграл, ал С1, С2, С3 – тратылар.

(3) мистеманы І-ші тедеуін х-ке, 2-сін, у-ке, ал 3-сін -ке кбейтіп осса:

(4)

Бл жазытыты тедеуі. Сйтіп планетаны орбитасы жазы исы екен, жне ол орбита жазытыы Кнні массалы центрі арылы теді.

Енді Сху жазытыты орбита жазытыы деп есептейік, сонда . Осылай болса (3) системаны шінші тедеуі алады:

(5)

х, у координаталарды полярлы координаттара алмастырып жазса, онда:

Осы рнектерді (5) тедеуге ндірсек мына атынас алынады:

(6)

Планетаны радиус-векторыны сызатын секторлы ауданыны дифференциалы немесе (6) тедеуден . Осы тедеуді интегралдаса , немесе – екі еселенген секторлы жылдамды болатынын креміз. Сондытан (6) тедеуді сзбен былайша айтуымыза болады:

Планетаны радиус-векторы те уаыт аралыында те аудандар сызады.

Демек, бл Кеплерді ІІ заы.

Енді планетаны орбитасыны формасын анытайы. Сху орбитаны жазытыы болатын болса, (2) системаны 3-ші тедеуі жойылып, 2 тедеу алады:

Бл тедеулерді 1-шісін , ал ІІ-сін кбейтіп осса:

(7)

Мны сол жаын былай жазуа болады:

планетаны жылдамдыы. О жаын трлендіру шін радиус-вектор -ді х, у координаттарымен рнектейтін тедеуді аламыз:

Осы тедеуден туынды алса:

, сондытан (7) тедеуді былай жазамыз:

Осы тедеуді интегралдаймыз, сонда

, (8)

С – траты жне (8) интеграл «тірі кштер интегралы» немесе «энергия интегралы» деп аталады. Осы интегралдан радиус – вектор -ды рнегін шыарып, планетаны орбитасыны формасын табамыз.

(8) интегралдаы v жылдамдыты поляр координатта жазайы, сода:

(6) тедеу бойынша ,

ал

Сонда жазылуы:

Енді айнымалыа кшеміз, ал . Сондытан:

айнымалыны мына формуламен рнектесек:

Соы тедеуді мынаан айналатыны тсінікті:

, немесе

, яни .

Егерде десек , осыдан , немесе табасын алан ыайлы. Сонда: ; осыны интегралдаса: , траты. Осыдан , ал

Сонда, – параметр, -шын аномалия. немесе

(9)

(9) тедеуі конус имасыны тедеуі /эллипс, парабола, гипербола/.

Сондытан бл нтижені былай айтуа болады:

Тартылыс кшті серінен аспан денесі екінші денені гравитациялы рісінде конус имасы /эллипс, парабола, гипербола/ бойынша озалады.

Бл Кеплерді жалпы І заы. Осы трінде бл за барлы аспан денеріні озалысын дрыс крсетеді. Басаша айтанда, кометаларды, планеталарды серіктеріні, физикалы ос жлдыздарды, жасанды денелерді т.б. гравитациялы рістеріндегі озалысыны орбиталарыны формасын анытайды.

Орбитаны формасы тек бастапы жылдамдыына байланысты екенін крсетейтік. Шынында да,

1) Эллипс, ;

2) Парабола, ;

3) Гипербола, .

Енді Кеплерді ІІІ заын орытып шыарамыз. Ауданды интегралды С3 –тратысы екі еселенген секторлы жылдамды.

Демек,

Сонда,

Орбитаны параметрі , сондытан , ал

Сонда,

, немесе

(10)

траты.

Бл тедеу Кеплерді ІІІ заыны математикалы трі. Екі планета шін (10) мынадай трде жазылады:

Кеплерді ІІІ заы былай айтылады:

Планеталарды сидерлы айналыс периодтарыны квадраттарыны планета мен Кнні массаларыны осындысына кбейтінділері оларды орбиталарыны лкен жарты сіні кубтеріне тура пропорционал.

Планеталарды массалары Кнні массасына салыстыранда те аз боландытан,

– Кеплерді эмпирикалы ІІІ заны осы трдегі рнегі алынады.

Кеплерді ІІІ заыны дл трін тек Кн жйесіне емес, кез келген жйеге олдануа болады. Сонда (10) тедеуде М – центрлік /орталы/ денені массасы, ал -озалатын денені массасы. Мнымен атар (10) рнекті планета мен оларды серіктеріне жне ос жлдыздара да олдануа болады.