Методические указания по выполнению

Контрольных работ

 

Таблица неопределенных интегралов

 

 

Образцы выполнения некоторых заданий

Задача №1.

1. Найти интеграл, воспользовавшись теоремой об инвариантности формул интегрирования:

а) б)

Решение:

а)

б)

Решение:

2.

 

3. Интегрированием по частям найти интеграл:

Решение:

 

 

Задача №2.

 

Найти объём тела, образованного вращением вокруг указанной оси части плоскости, ограниченной заданными линиями: .

Решение: Построим графики заданных линий.

 

 

а 0 b x

 

 

 

Задача №3.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. - линейное неоднородное уравнение.

Решим однородное уравнение разделением переменных.

2.

или (1)

это уравнение вида где

Введём переменную

подставим в уравнение (1)

а)

б)

.

Задача №4.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

а)

Составим характеристическое уравнение и найдем общее решение однородного уравнения:

- общее решение однородного уравнения

Методом неопределенных коэффициентов найдем частное решение неоднородного уравнения. Решение будем искать в виде: , где r – число корней, равных т.к.

.

Тогда - общее решение неоднородного уравнения.

б)

Составим характеристическое уравнение и найдем общее решение однородного уравнения:

правая часть исходного уравнения представляет собой сумму двух функций

Найдём частные решения для каждой из них. Рассмотрим уравнение с правой частью первого вида.

Рассмотрим уравнение с правой частью второго вида: .

Решение будем искать в виде: , где r – число корней характеристического уравнения, равных i .

, , .

Подставляя в рассматриваемое уравнение, получаем:

Частное решение . Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

 

Задача №5. Исследовать сходимость рядов:

1. а)

Решение:

- необходимый признак сходимости рядов выполняется.

Используем признак сравнения:

Ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд, т.к. р=3/2>1. Значит, согласно признаку сравнения а) данный ряд сходится

б)

ряд сходится.

в)

Проверим выполнение необходимого признака сходимости рядов.

ряд расходится.

2. Исследовать сходимость знакопеременных рядов:

а)

по признаку Лейбница ряд сходится.

Проверим сходимость ряда , составленного из абсолютных величин

Используем интегральный признак для определения сходимости

расходится.

Значит, данный ряд является условно сходящимся.

b)

Данный ряд расходится, т.к. выполняется признак Лейбница.

с)

по признаку Лейбница ряд сходится.

Используем признак сравнения для определения сходимости

Сравним данный ряд с рядом, у которого

(обобщённый гармонический, сходящийся, т.к. р=2>1).

Значит, данный ряд абсолютно сходящийся.

Задача №6. Найти область сходимости ряда

Решение:

Пусть z = х+5, тогда исследуя сходимость ряда

, т.е.

ряд сходящийся

и ряд расходящийся

Если , то

и ряд сходится, т.к. выполняются условия теоремы Лейбница, причём абсолютно.

Если , то

ряд сходится , как обобщённо гармонический.