Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

При поступательном движении все точки тела движутся как его центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы являются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела.

 

m – масса тела

координаты центра масс.

(С помощью этих уравнений решаются 2 задачи динамики).

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения отдельной материальной точки, имеющей массу всего тела.

Импульс силы.

Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени вводится понятие об импульсе силы.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени dt:

.

Импульс силы за конечный промежуток

Импульс силы характеризует передачу точки механического движения со стороны, действующих на нее тел за данный промежуток времени.

Если (частный случай), то (4.10)

Найдем проекции на координатные оси.

По этим проекциям можно найти сам вектор

Импульс равнодействующей нескольких сил за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов составляющих сил за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения материальной точки.

Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление скорости и модуль, равный произведению массы точки на модуль скорости ее движения.

Количество движения точки зависит от ее массы и скорости, является мерой механического движения.

- количество движения.

, , - проекции количества движения на координатной оси.

Р – равнодействующая, приложенных к точке сил.

Основное уравнение динамики преобразуем следующим образом.

или

Уравнение (5.8) выражает теорему об изменении в дифференциальной форме:

Производная по времени от количества движения точки геометрически равна равнодействующей приложенных к точке сил.

Запишем уравнение (5.8) в виде

и проинтегрируем в пределах, соответствующих моментов времени и

, получим

Заменим в уравнении (5.9) импульс равнодействующими импульсами составляющих сил.

Уравнение (5.10) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной форме:

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени (теорема импульсов).

Изменение проекции количества движения точки на данную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекции на ту же ось импульсов, приложенных к точке сил, за то же промежуток времени.