Методика дослідження функцій на неперервність

1. Знайти область визначення функції

2. Дослідити функцію на неперервність у відкритих проміжках

3. Визначити скінченні граничні точки (с.г.т.) і обчислити односторонні границі функції у цих точках.

Рис. 4

4. Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік функції поблизу цих точок. Для зручності побудови графіка функції рекомендується записати координати граничних точок графіка функції Символічний запис абсциси граничної точки означає, що абсциса довіль­ної точки графіка функції прямує до х₀ зліва (х₀ – 0) або справа (х₀ + 0); а запис означає, що ордината довільної точки графіка функції при цьому прямує до у₀ знизу (у₀ – 0) або зверху (у₀ + 0). Наприклад, для граничних точок і графік функції підходить до цих точок так, як показано на рис. 4.

До точки Р₁ графік підходить зліва і зверху, а до точки Р₂ — справа і знизу.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Область визначення цієї функції На кож­ному з інтервалів області визначення функція буде неперервна, як суперпозиція неперервних елементарних функцій. Скінченною граничною точкою D функції буде х = 1. Обчислимо такі границі:

Отже, х = 1 — точка розриву 2-го роду, бо одна з односторонніх границь не існує. Граничні точки графіка функції: Р₁ (1 – 0; + 0), Р₂(1 + 0; + ¥). Графік функції поблизу точки розриву показано на рис. 5. Зауважимо, що гранична точка Р₂ (1 + 0; + ¥) лежить на нескінченності.

Рис. 5 Рис. 6

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Ця функція буде неперервною на кожному з проміжків (–¥; 0) і (0; + ¥), бо є суперпозицією неперервних елементарних функцій. Границі — не існують. Отже, точка х = 0 — точка розриву функції 2-го роду.

Записати координати граничних точок графіка функції неможливо, тому і побудувати графік функції поблизу самої точки розриву не можна (рис. 6).

Приклад. Дослідити на неперервність функцію .

l Скорочений запис розв’язування задачі:

— неперервна, як суперпозиція елементарних функцій.

х = 0 — с.г.т. D(y).

Рис. 7

Таким чином, точка х = 0 є точкою розриву функції 1-го роду (розрив усувний), бо односторонні границі існують і рівні між собою (сама функція при х = 0 не існує).

Граничні точки графіка функції і зливаються в одну точку (рис. 7).

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

l Після розкриття функція перепишеться так:

На кожному з інтервалів функція неперервна. Розглянемо односторонні границі функції у точці х = – 2.

Рис. 8

Отже, точка х = – 2 — точка розриву 1-го роду (розрив неусувний), бо од­носторонні границі функції у цій точці існують, але не рівні між собою.

Граничні точки графіка функції такі: (рис. 8).