Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей
КОНСПЕКТ ЗА 04.02.2017
Квадратні нерівності
Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні нерівностей
). У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена
потрібно розглянути два випадки:
1) Якщо , а старший коефіцієнт а додатний, то при всіх значеннях х виконується нерівність
.
2) Якщо , то для розв’язання нерівності
потрібно розкласти квадратний тричлен
на множники за формулою
, потім поділити обидві частини нерівності
на число а, зберігши знак нерівності, якщо
, і змінивши знак нерівності на додатний, якщо
, і перейти до нерівності
.
Приклад 7.Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Розв’язавши квадратне рівняння , одержимо корені
. Тоді квадратний тричлен розкладеться на такі множники:
.
Звідси,
Відповідь:
Квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків).В його основі лежить така властивість двочлена : точка
ділить числову вісь на дві частини – праворуч від точки ? двочлен
, а ліворуч від точки ?
.
Приклад 8.Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Многочлен перетворюється в нуль у точках
Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки (
1),
(1; 3), (3; ), усередині кожного з яких функція
зберігає знак.
Оскільки в проміжку (3; ) співмножники
додатні, то їхній добуток додатний, тобто
. Відзначимо проміжок (3;
) знаком “+”. Далі знаки в проміжках чергуються. Проводимо через визначені точки “криву знаків”. На тих проміжках, де ставиться знак “+”, виконується нерівність
; на тих проміжках, де знак “– “, виконується нерівність
. Отже, розв’язком початкової нерівності є об’єднанням проміжків: (
1), (3;
).
Відповідь: (
1)
(3;
).
Приклад 9. Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Якщо прирівняти до нуля многочлен , то дискримінант виявиться від’ємним. А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної х, тому при
нерівність розв’язків не має.
Відповідь: нерівність розв’язків не має.
Приклад 10. Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Многочлен є невід’ємним при будь-якому дійсному значенні змінної х, томунерівність
справджується при всіх дійсних значеннях змінної х, крім 4.
Відповідь:
Приклад 11. Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Многочлен перетворюється в нуль в точках
. Ці точки розбивають координатну пряму на чотири проміжки. Оскільки даний многочлен містить множник у парному степені– це
, то при переході «змійки» через “0” знак не буде змінюватись. Зазначимо, що точка
входить у множину розв’язків, тому що при
дістаємо
.
Відповідь:
.
Приклад 12. Розв’язати нерівність
Розв’язання
Наносимо точки 6; 2; 0; –1; –5 на числову вісь. Відзначимо точки
і
, при переході через них «змійки» знаки не будуть змінюватись. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв’язки, які позначені на рисунку зі знаком «+».
Відповідь:
.
Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей
Приклад 13.Розв’язати нерівність
Розв’язання
Зробимо заміну , тоді
. Розкладемо на множники квадратний тричлен, який стоїть у лівій частині нерівності:
або
.
Оскільки , то дістаємо
.
Відповідь:
.