Критерий Коши сходимости ряда.

(Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда).

Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечный предел), необходимо и достаточно, чтобы

Сгруппируем члены ряда, например, так

2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.. Видно, что частичные суммы группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.

20. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Теорема: Пусть числовой ряд

u₁+u₂+...+u_n+... ,

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю Доказательство. Из условия теоремы имеем

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

,

а он, однако не является сходящимся. Так гармонический ряд

для которого

,

расходится. Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

21. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Теорема 9. Если члены сходящегося ряда с положительными членами переставить каким-либо образом, то вновь полученный ряд будет сходящимся, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.2) Признак Даламбера. Теорема 11. Если ряд с положительными членами (15) таков, что существует предел

то при

ряд (15) сходится, а при

ряд (15) расходится. Замечание 4. Если

, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этом случае нужно исследовать ряд на сходимость другими методами.

22. Ряды с членами произвольного знака. Признак Лейбница. Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁ > u₂ >….> u_n > …. и предел его общего члена при n равен нулю, т.е.

= 0, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S u₁. Рассмотрим последовательность частичныx сумм чётного числа членов при n = 2m: S_2m = (u₁ - u₂) + (u₃ - u₄) +…+(u_2m-1- u_2m). Эта последовательность возрастающая (так как с ростом n = 2m увеличивается число положительных слагаемых в скобках) и ограниченная (это видно из того, что S_2m можно представить в виде S_2m = u₁ - (u₂ - u₃) + (u₄- u₅)+ …+(u_2m-2 - u_2m-1) - u_2m , откуда следует, что S_2m < u₁. На основании признака существования предела последовательность S_2m имеет предел

.Следствие.Погрешность при приближённом вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда,

23. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Функциональные ряды вида

, где

(n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа,

-комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа

-коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z=

-а, получим ряд

(2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1). Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z= 0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<|

|; а если этот ряд расходится при z= 0, то он расходится при всяком z, для которого|z|>|