Задания на контрольную работу.
МАТЕМАТИКА
Часть вторая
Учебно-методическое указание по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников первого курса
высшего профессионального образования
21.03.01(131000). 13.03.02(140400),
Краснодар
УДК
Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Егорова Л.В.
Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2005. – 37 с.
В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т.
канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.
© КубГТУ, 2005
Содержание
Введение. 3
1. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями. 3
2. Программа дисциплины. 4
3. Контрольные работы. 5
4. Задания на контрольную работу. 13
5 Содержание и оформление контрольных работ. 19
6 Темы практических занятий. 19
7. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету) 20
8. Список рекомендуемой литературы.. 21
Введение
Инженер должен в области математики иметь представление:
- о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и
представлений;
- о математическом моделировании;
- об информации, методах ее хранения, разработки и передачи;
знать и уметь использовать:
- основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;
- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;
- вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели;
иметь опыт:
- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;
- исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов:
- использования основных приемов обработки экспериментальных данных;
- аналитического и численного решения алгебраических уравнений;
- исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
- аналитического и численного решения основных уравнений математической физики;
- программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения;
Цель курса «Математика»:
- дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин;
- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления;
- овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности;
- выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач.
Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.
В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.
Пример.
Литература: [2, гл.2 c. 3-9], [4, c. 143-162],
где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.
Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 210,220,230 и так далее.
В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.
Программа дисциплины.
Тема 6. Функции нескольких переменных.
Функции многих переменных, их область определения. Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная по направлению. Градиент. Метод наименьших квадратов.
Литература: [3, гл12 c. 284 – 304]
Вопросы для самоконтроля.
1. Вычисление частных производных функции многих переменных.
2. Вычисление производной по направлению.
3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
4. Решение задач с помощью метода наименьших квадратов.
Тема 7.Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл. Приближенное значение определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.
Литература: [3, гл7,8 с. 159-215].
Вопросы для самоконтроля.
1. Вычисление неопределенных интегралов..
2. Вычисление приближенного значения интеграла с помощью формулы Симпсона.
3. Вычисление несобственных интегралов первого и второго рода.
4. Определенный интеграл и его приложения.
Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системыдифференциальных уравнений.
Литература:[3, гл15 с. 416-449].
Вопросы для самоконтроля.
1. Решение уравнений с разделяющимися переменными..
2. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка..
3. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции.
4. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной.
5. Решения систем дифференциальных уравнений.
Контрольные работы.
Программой дисциплины «Математика» для студентов I курса предусмотрено выполнение контрольных работ №3.
3.1.При выполнении контрольной работы №3 необходимо изучить функции многих переменных, интегральные исчисления и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.
К заданиям 201-210.
Пример. Проверить, что для функции
.
Решение. Находим частные производные второго порядка.
Получим тождество:
=
К заданиям 211-220. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге
Решение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:
- Найти критические точки (лежащие внутри данной области) и вычислить в них значения функции.
- Найти наибольшее (наименьшее) значения функции на границе области.
- Сравнить все полученные значения функции.
Данная функция имеет частные производные:
- критическая точка
Границей данной области является окружность или
, где
. Функция
на границе области становится функцией одной переменной
:
, аргумент которой изменяется на отрезке
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке
Вычисляем ее значения на концах отрезка , т.е. в точках
Сравнивая значение, заключаем, что функция имеет наибольшее значение, равное 18 и наименьшее значение, равное -18, причем
К заданиям 221-230.
Пример.Даны функция , точка
и вектор
, найти:
а) в точке А;
б) производную в точке А по направлению вектора .
Решение:
а) Имеем
Значит,
б)Найдем направляющие косинусы вектора ,
Следовательно,
К заданиям 231-240.
Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек n=6
Требуется методом наименьших квадратов найти функцию так, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек. Неизвестные коэффициенты находим из системы:
где
В нашем случае система имеет вид
Решим ее методом определителей:
Искомое уравнение
К заданиям 241-250.
Пример. Найти неопределенные интегралы.
а)
Подстановка . Тогда
, откуда
.
Таким образом,
б)
Применяем формулу интегрирования по частям
Пусть , тогда
Получаем
К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям.
Пусть
Таким образом,
в)
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой
Подынтегральную функцию разложим на дроби
, откуда
Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:
Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:
Таким образом,
Решим отдельно интеграл
Итак,
г)
Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому делаем подстановку
,
, то есть
К заданиям 251-260.Пример. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей. Все вычисление производить с округлением до третьего десятичного знака.
Решение: Делим интервал [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части
h= ,
точки деления значения
подынтегральной функции
В этих точках:
ё
По формуле Симпсона
.
К заданиям 261-270
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв при х=3
Согласно формуле
Имеем
Интеграл сходится и его величина составляет .
К заданиям 271 280.
Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками А(2;1) и B(5;-8).
Решение:
Длина дуги АВ определяется формулой
Разрешаем данное уравнение относительно y и находим :
Подставляя в формулу, находим
К заданиям 281 300.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Преобразуем уравнение к виду
Сделав подстановку ,т.е. y = u x,
Получим или
Интегрируя, имеем:
, т.е.
Отсюда , т.е.
Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения
2.
Уравнение приводится к виду ,где
- непрерывные функции.
Это уравнение Бернулли
Полагаем . Получаем
или
Решаем первое уравнение ,
Разделяя переменные , т.е.
Выбирая простейшие решения (С=0), находим
Решаем второе уравнение
, где
или
, т.е.
, откуда
Таким образом, , где
- общее решение дифференциального уравнения.
3.
Положим y`=p=p(y). Тогда , а исходное уравнение примет вид:
Т.е. , откуда
Заменим p на y`, получим
, или
Получим общее решение исходного уравнения в неявном виде.
К заданиям 301-310.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
А) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение
, составим
характеристическое уравнение:
Тогда - общее решение однородного уравнения.
Б) Найдем у - частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде, подобном первой части. Там - это многочлен второй степени, в общем виде это
, т.е.
. Так как
есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем
и подставим в первоначальное уравнение
Два многочлена равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты в обеих частях
Тогда
Общее решение
К заданиям 311-320.
Дана система линейных уравнений:
Найти общее решение систем с помощью характеристического уравнения
Решение: Составим характеристическое уравнение , где
- матрица системы,
- единичная матрица.
Имеем , или
Его корни - характеристические числа матрицы.
При уравнения для определения собственного вектора имеют вид
и
и сводятся к одному уравнению
. Последнее определяет вектор (1;-2).
При получаем уравнения
или
Это уравнение определяет вектор (1;1). Поучаем фундаментальную систему решений:
Для :
Для :
Общее решение системы имеет вид:
К заданиям 321-330.
У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?
Решение: Уравнение касательной в любой точке (x ; y) искомой кривой будет , где
- координаты любой точки на касательной.
Полагая в этом уравнении , найдем абсциссу
точки пересечения касательной с осью Ох:
Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как уравнение с разделяющимися переменными, получим
Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох.
Задания на контрольную работу.
Контрольная работа №3
Задание 1. Дана функция z=f(x;y). Показать, что F(x; y; z; )
.
№201. ,
№202.
№203. ,
№204. ,
№205. ,
№206. ,
№207. ,
№208. ,
№209. ,
№210. ,
Задание 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
№211. ;
№212. ;
№213.
,
№214.
№215. ;
,
№216.
,
№217.
,
№218. ;
,
№219. ;
,
№220. ;
,
Задание 3. Даны функция , точка
и вектор
.
Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора
.
№221. , A(1;1);
№222. , A(-1;2);
№223. , A(1;3);
№224. A(1;1);
№225. A(2;-1);
№226. A(1;2);
№227. A(4;-3);
№228. A(-1;-2);
№229. , A(-5;6);
№230. A(2;3);
Задание 4. Экспериментально получены пять значений функции при пять значениях аргумента, которые записаны в таблице:
x | |||||
y | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 |
Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенную (аппроксимирующую) функцию
. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции
.
№231. y|| 3,4 | 3,5 | 3,1 | 1,2 | 2,4 |
№232. y|| 0,6 | 1,6 | 3,7 | 5,2 | 6,4 |
№233. y|| 4,7 | 5,5 | 4,0 | 2,1 | 2,7 |
№234. y|| 4,8 | 5,3 | 4,2 | 3,8 | 2,3 |
№235. y|| 3,9 | 5,1 | 3,3 | 1,5 | 2,3 |
№236. y|| 5,7 | 6,7 | 4,9 | 3,4 | 3,9 |
№237. y|| 5,2 | 6,3 | 4,8 | 2,7 | 1,8 |
№238. y|| 5,1 | 4,8 | 5,2 | 2,9 | 2,1 |
№239. y|| 4,5 | 2,5 | 0,5 | 3,5 | 1,6 |
№240. y|| 3,6 | 4,5 | 3,2 | 1,3 | 1,8 |
Задание 5. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
№241. а) ; б)
; в)
; г)
.
№242. а) ; б)
; в)
; г)
.
№243. а) ; б)
; в)
; г)
.
№244. а) ; б)
; в)
г)
№245. а) б)
; в)
; г)
.
№246. а) ; б)
; в)
; г)
.
№247. а) ; б)
; в)
; г)
.
№248. а) ; б)
; в)
; г)
;
№249. а) ; б)
; в)
; г)
;
№250. а) ; б)
; в)
; г)
.
Задание 6. Вычислить приближенные значения определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
№251. №255.
№259.
№252. №256.
№260.
№253. №257.
№254. №258.
Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
№261. №266.
№262. №267.
№263. №268.
№264. №269.
№265. №270.
Задание 8.
№271. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций
вокруг оси Oy.
№272. Вычислить длину дуги кривой от точки
до точки
.
№273. Вычислить площадь фигуры, ограниченно линиями, заданными уравнениями ,
.
№274. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .
№275. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций ,
вокруг оси Ox.
№276. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,
№277. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ,
№278. Вычислить длину дуги кривой от точки А(1;0) до точки B(2;1).
№279. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Oy.
№280. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,
вокруг оси Oy.
Задание № 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ 281.
№ 282. (1+x )
-2xy=(1+x
)
№ 283. =
№ 284. x =y ln (
)
№ 285. x +x tg
№ 286. +y cos = sin 2x
№ 287. +2xy=2xy
№ 288.
№ 289. x + y =4x
№ 290. - y=
Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№291. (1- x
x
№ 292.
(1+ (
)
№ 293. 1+( )
№ 294. x
№ 295.
№296.
№297.
№298.
№299.
№300.
Задание 11. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям
,
.
№301. ,
№302. ,
№303. ,
№304. y(0) =0,
№305. , y(0)=1,
№306. y(0) =0,
№307. y(0) = 1,
№308.
№309.
№310.
Задание 12. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;
2) записать данную систему и её решение в матричной форме.
№311.
№312.
№313.
№314.
№315.
№316.
№317.
№318.
№319.
№320.
Задание 13.
№321. Пуля, двигаясь со скоростью м/с, ударяется о достаточно плотную стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления стены; эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности
. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.
№322. Материальная точка массой г движется прямолинейно. На нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности
, и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности
. Найти скорость точки через 3 секунды после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.
№323. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью
, а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось
кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?
№324. Кривая проходит через точку A(2;1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.
№325. Материальная точка массой
г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности
кг/с. Найти скорость точки через 1с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.
№326. Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью кг/ч . На полном ходу её мотор был выключен и через 10 секунд скорость лодки уменьшилась до
км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 минуту после остановки мотора.
№327. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точки, проведённой в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.
№328. Кривая проходит через точку A(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.
№329. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.
№330. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.
Содержание и оформление контрольных работ
4.1. Требования к оформлению контрольной работы: в случае рукописного варианта контрольная работа выполняется в тетради (12л.) на обложке необходимо указать № к.р., свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, ФИО, в случае электронного варианта контрольная работа выполняется в текстовом редакторе Word.
4.2. Требования к структуре контрольной работы:
При выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.