Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства арифметическогоn-мерного пространства
1. Ассоциативность
(a +b )+c =a +(b +c )(a+b)+c=a+(b+c).
2. Коммутативность
a +b =b +a a+b=b+a.
3. Единственность решения уравнения
a ,b !x Pn(a +x =b ).
4. Существование нейтрального элемента
0 =(0,0,0,…,0),a ,a +0 =a.
5. Существование противоположного вектора
0 ,a ,a +0 =a .
6. Ассоциативность скалярного умножения
,R :(a )=()a
7. Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров
(+)a =a +a
8. Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов
(a +b )=a +b
Операции с векторами и их свойства
Суммой векторов и
называется
вектор
Для любых векторов
справедливы равенства
![]() |
![]() |
Теорема 11.6.
Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
![]() |
Рисунок 11.2.3. Правило параллелограмма |
Разностью векторов и
называется такой вектор
который в сумме с вектором
дает вектор
откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.
Произведением вектора на число называется вектор
т. е.
- Для любого вектора
и чисел и
![]() |
- Для любых двух векторов
и
и числа
![]() |
Теорема 11.7.
Абсолютная величина вектора равна | || a|. Направление вектора
при
совпадает с направлением вектора
если > 0, и противоположно направлению вектора
если < 0.
Теорема 11.8.
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов и
существует такое число , что
Теорема 11.9.
Пусть и
– отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор
можно единственным образом представить в виде
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов и
называется число
Скалярное произведение векторов
и
обозначется
Для любых векторов
и
верно:
Теорема 11.10.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Единичные векторы и
имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Теорема 11.11.
Любой ненулевой вектор единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде
.
Свойства умножения вектора на число:
-
-
-
-
-
-
.
Здесь и
- произвольные векторы,
,
- произвольные числа.
2. Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с1, с2, …, сk, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору:
=
, в противном случае система называется линейно независимой.
Покажем, что эти определения эквивалентны.
Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:
,
.
Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.
Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе
.
,
,
.
Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.
Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор, у которого i-я координата равна единице, а остальные - нулевые.
. (1, 0, 0, …, 0),
(0, 1, 0, …, 0),
…
(0, 0, 0, …, 1).
Теорема 1. Различные единичные векторы n-мерного пространства линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.
=
.
Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.
Каждый вектор n-мерного пространства (а1, а2 , ..., аn) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора
.
Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например
=
. Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:
=
.
Следовательно, система линейно зависима.
Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система
линейно зависима, т.е. найдутся числа с1, с2, …, сr, не все равные нулю, такие, что
=
. Тогда
=
.
Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство.
Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.
Теорема 4 (теорема Штейница).Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов
и m>n, то система векторов
линейно зависима.
Следствие. В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.
Доказательство. Каждый n-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m>n, то, по теореме, данная система линейно зависима.
Линейная зависимость и независимость векторов
Система линейно зависима
что
Система линейно независима
Критерий линейной зависимости векторов
Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
Лемма.
Пусть система векторов линейно независима, а каждый ее вектор линейно выражается через векторы системы
. Тогда
.
Определение. Система называется максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве
, если любое расширение
этой системы линейно зависимо.
Следствие. Если и
две максимальные линейно независимые системы в
, то
.
Определение. Пространство называется
-мерным (
), если в
есть максимальная линейно независимая система, состоящая из
векторов. Если такой подсистемы нет ни для какого
, то
. Если
, то по определению
Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства
, если каждый вектор
единственным образом записывается в виде линейной комбинации
,
.
Предложение. Система векторов является базисом в пространстве
тогда и только тогда, когда
является максимальной линейно независимой системой в
.
Предложение. Пусть --
-мерное векторное пространство,
. Тогда в
существует хотя бы один базис. Более того, каждая линейно независимая система
может быть дополнена до некоторого базиса
.
Предложение. Система является базисом в
-мерном векторном пространстве
тогда и только тогда, когда эта система линейно независима и
.
Предложение. Система является базисом в
-мерном векторном пространстве
тогда и только тогда, когда
и каждый вектор
линейно выражается через эти векторы.
Рассмотрим арифметическое пространство , состоящее из множества строк
,
. Вектора
(на
месте стоит
) -- образуют базис.
Следствие. В пространстве система
,
, является базисом тогда и только тогда, когда