Дріс. Туындыны кмегімен функцияларды зерттеу жне графигін салу

функциясы аралыында берілсін. Егер кез келген шін тесіздігінен ( ) тесіздігі шыатын болса, онда функциясы аралыында седі (кемиді) дейді.

Теорема. Егер аралыында дифференциалданатын функциясыны туындысы осы аралыта о (теріс) болса, онда ол осы аралыта седі (кемиді). Демек, су немесе кему интервалында функцияны туындысы табасын згертпейді.

1-мысал. функцияны су жне кему аралытарын табу керек. Ол шін функция туындысыны табасыны тратылы интервалдарын анытаймыз . Бл квадрат шмшелікті тбірлері x₁=0, x₂=2. Сондытан, егер аралыында , демек функциясы бл аралыта кемиді. Ал аралытарында f'(x)>0, демек бл аралытарда функция седі.

Теорема (экстремумны ажетті шарты).Егер дифференциалданатын функциясыны нктесінде экстремумы бар болса, онда сол нктеде болады. Осы теоремадан мынадай орытындыа келеміз: егер нктесінде функцияны экстремумы бар болса, онда ол нктеде оны туындысы нлге те, не ол нктеде туындысы болмауы ммкін. Кері тжырым рашан орындала бермейді. Мысалы, функциясыны x₀=0 нктесінде туындысы , ал біра ол нктеде функция не максимум, не минимум абылдамайды. функциясыны туындысы нлге айналатын немесе тіпті болмайтын нктелерді кдікті нктелер немесе «кризистік» нктелер деп атайды. Функцияны экстремумын осы кдікті нктелерді арасынан іздеу керек.

Теорема (экстремумні жеткілікті шарты). Егер нктесінде функциясыны туындысы нлге те болса жне нктесінен ткенде табасын згертсе, онда нктесі экстремум нктесі болады: 1) егер таба «плюс»-тен «минус»-ке згерсе, онда – максимум нктесі; 2) егер таба «минус»-тен «плюс»-ке згерсе, онда – минимум нктесі болады.

2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, су жне кему аралытарын анытау керек. Функция туындысы , осыдан , кдікті нктесін табамыз. нктесінде функцияны туындысы болмайды, сондытан ол да кдікті нкте. Интервалдар тсілімен f '(x)-ті табаларын анытаймыз. Функция барлы нктелерде зіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нктесі, ал минимум нктесі. (–¥, 0) жне интервалдарда функция седі, ал интервалда кемиді Зерттеу нтижелерін таблицаа жазамыз:

x	(–¥,0)		(0, )		( , +¥)
f '(x)	+	Туындысы жо	–		+
f (x)		max		min

 

 

 

Функцияны екінші ретті туындысы олданылатын экстремумны таы бір шартын келтірейік.

Теорема. функциясыны нктесінде бірінші жне екінші туындылары бар болсын. Егер нктесінде функциясыны бірінші туындысы нлге те, яни болса, ал екінші туындысы нлден ерекше, яни болса, онда - экстремум нктесі болады:

1) егер болса, онда – минимум нктесі;

2) егер болса, онда – максимум нктесі болады.

Функцияны кесіндідегі е лкен жне е кіші мндері. Функция зіні е лкен жне е кіші мндерін экстремум нктелерінде не кесіндісіні шеткі нктелерінде абылдауы ммкін. Е лкен жне е кіші мндерді табу шін алдымен функцияны кдікті нктелерін (не туынды нлге те, не туынды жо нктелер) табу керек. Содан со функцияны кдікті нктелеріндегі жне кесіндіні шеткі нктелеріндегі мндерін тауып, оларды ішінен е лкен жне е кіші мндерді іздеу керек.

3-мысал. функциясыны кесіндісіндегі е лкен жіне е кіші мндерін табу керек. Кдікті нктелерді табамыз:

Осыдан - кдікті нктелер. Енді функцияны кдікті нктелердегі жне шеткі нктелердегі мндерін табамыз: . Сонымен _{лкен кіші} .