Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера

Кафедра математики

 

 

Методические указанияи задания к выполнению

расчетно-графической работы по теме:

"Приближенные методы решения

дифференциальных уравнений"

для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения

Брянск 2015
Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Брянский государственный инженерно-технологический университет»

 

Кафедра математики

 

УТВЕРЖДЕНЫ

научно-методическим

советом университета

Протокол № ____

oт “____”___________2015 г.

 

 

Методические указанияи задания к выполнению

расчетно-графической работы по теме:

"Приближенные методы решения

дифференциальных уравнений"

для студентов всех специальностей и всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения

Брянск 2015

Составители: доцент Камозина О.В.,

доцент Котова И.А.

 

Рецензент:

профессор кафедры «Физика», д. ф.-м. н. Евтюхов К.Н.

 

Рекомендованы редакционно-издательской и методической комиссиями механико-технологического факультета БГИТУ.

Протокол № 1 от 10.09.2015 г.

 

 

Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому важное значение приобретают приближенные методы решения.

Существуют два метода численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

 

Метод Эйлера

Для данного уравнения 1-го порядка

(1)

можно составить таблицу приближенных значений частного решения, удовлетворяющего начальному условию

(2)

или приближенно вычертить интегральную кривую на некотором отрезке[ ].

По методу Эйлера данный отрезок [ ] разбивается точками на n частичных отрезков.

На первом частичном отрезке [ ] искомая интегральная кривая, проходящая через известную точку M0( ) заменяется касательной к ней в точке

,

Откуда при получается приближенное значение искомого решения уравнения в точке

.

Далее тем же способом для отрезка [ ] находим приближенное значение искомого решения в точке

.

Продолжая этот процесс, последовательно находим приближенные значения искомого решения в точках .

С увеличением , при достаточно малой длине частичных отрезков, этим методом можно достигнуть заданной точности решения.

Данный отрезок [ ] удобно разделить на частичные отрезки одинаковой длины

(шаг).

Тогда все последовательные приближенные значения решения уравнения (1),удовлетворяющего начальному условию (2), вычисляются по рекуррентной формуле

.

Таким образом, по методу Эйлера интегральную кривую, проходящую через точку , заменяют ломаной (ломаной Эйлера), каждый отрезок которой проведен по направлению поля, определенного уравнением (1).Иными словами, от предыдущей вершины ломаной к последующей двигаются по касательной к интегральной кривой, проведенной через начальную точку каждого отрезка.

Недостатки метода Эйлера:

1. Малая точность при значительном шаге и большой объем работ при малом шаге.

2. Систематическое накопление ошибок.

Поэтому метод Эйлера применяют лишь для грубых приближений.

 

Расчет ведется по следующей схеме:

… … … … …
-1
   

 

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта более чаще употребляется,чем метод Эйлера, хотя и требует большего объёма вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с большим шагом, т.е. для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.

Геометрически этот метод для задачи (1),(2) также как и в методе Эйлера состоит в том, что на малом отрезке [ ] интегральная кривая уравнения (1) заменяется прямой, проходящей через точку , однако в основу положен более тонкий, чем в методе Эйлера, подход к определению направления этого отрезка прямой.

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:

где

(3)

Шаг расчета можно поменять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага рекомендуем вычислить дробь

Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.

 

Все вычисления удобно располагать по схеме:

 

 

 
 
  +
       
… … … … …

 

Порядок заполнения таблицы:

1) Записываем в первой строке таблицы данные значения .

2) Вычисляем умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

3) Записываем во второй строке таблицы .

4) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

5) Записываем в третьей строке таблицы .

6) Вычисляем , умножаем на , заносим в таблицу в качестве .

 

7) Записываем в четвертой строке таблицы .

8) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .

9) В столбец записываем .

10) Суммируем числа, стоящие в столбце , делим на 6 и заносим в таблицу в качестве .

11) Вычисляем .

Затем все вычисления продолжают в том же порядке, принимая за начальную точку .

Содержание РГР "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"

Студенту предлагается выполнить следующую работу:

1 . Точное решение дифференциального уравнения.

2. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

3. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

 

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

19) .

20) .

21) .

22) .

23) .

24) .

25) .

26) .

27) .

28) .

29) .

30) .

Образец выполнения РГР

Задание. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке , приняв за шаг .

Точное решение

-линейное уравнение.

Подстановка:

При найдем

- точное решение дифференциального уравнения.

Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера

Т.к. то