Аналогично, в методе правых прямоугольников
и в методе средних прямоугольников
 i = 0,1,2,...,n-1;  ,
| (5.4) |
где 
, i = 0,1,2,...,n-1.
Приведенные формулы для S являются вычислительными формулами методов прямоугольников.
Оценим точность этих методов. В методе средних прямоугольников для каждого интервала разбиения получаем c учетом выражения для Si в (5.4):
 .
| (5.5) |
Для оценки Ri разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около средней точки 
| (5.6) |
В малой окрестности точки 
этот ряд с высокой точностью представляет функцию f (x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под знак интеграла вместо f (x) ее тейлоровское разложение (5.6) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. T.е. точное значение интеграла на интервале [xi,xi+1] равно:
Подставим пределы интегрирования:
или, так как :
Все члены полученного при интегрировании ряда, имеющие (x-xi) в четной степени, обращаются в нуль. Поэтому получаем:
| (5.7) |
Сравнивая (5.5) и (5.7), можно записать выражение для погрешности Ri:
При малой величине шага интегрирования h основной вклад в значение Ri дает первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале [xi,xi+1] и обозначается R0i:
 .
| (5.8) |
Главный член полной погрешности для интеграла на всем промежутке [a,b] определится как сумма:
   .
| (5.9) |
Здесь использован тот же метод средних прямоугольников, но для функции 
.
Степень шага h, которой пропорциональна величина R0, называется порядком метода интегрирования. Как видно из (5.9), метод средних прямоугольников имеет второй порядок.
Аналогично проведем оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=xi:
Интегрируя это разложение почленно на интервале [xi,xi+1] получаем
Здесь первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников (см. формулу (5.2)) , а второе слагаемое является главным членом погрешности:
 .
| (5.10) |
Тогда на всем промежутке интегрирования [a,b] главный член погрешности R0 получается суммированием частичных погрешностей R0i :
  ,
| (5.11) |
т.е. метод левых прямоугольников имеет первый порядок. Метод правых прямоугольников также имеет первый порядок, а главный член его погрешности выражается такой же формулой (5.11).
Сравнение (5.9) и (5.11) показывает, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность по сравнению с методом левых или правых прямоугольников и за счет коэффициента в знаменателе (24 > 2), и за счет интеграла от производной, т.к. для большинства функций выполняется неравенство
.
Следовательно, использование метода средних прямоугольников является предпочтительным, но использовать его удается не всегда. Если значения f(x) определяются из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников напрямую применить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в срединных точках. В этой ситуации приходится применять либо какие-нибудь средства интерполяции, что приводит к дополнительным расходам машинного времени и памяти, либо другие методы численного интегрирования.
Метод трапеций
В этом методе подынтегральная функция f(x) на интервале [xi,xi+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения f(x) на границах интервала (рис.5.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:
Рис.5.6. Геометрическая
интерпретация метода
трапеций
|  ,
| (5.12) |
т.е.  ,
а численное значение интеграла на всем промежутке [a,b]
| ||
| (5.13) | |
| Это вычислительная формула метода трапеций. |
Оценим погрешность Ri. Для этого разложим функцию f(x) в ряд Тейлора около точки xi :
| (5.14) |
Тогда
| (5.15) |
С помощью разложения (5.14) вычислим подынтегральную функцию в точке xi+h :
откуда
| (5.16) |
Подставляя произведение (5.16) в выражение (5.15), получим
| (5.17) |
Сравнивая (5.12) и (5.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла
.
Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид
 ,
| (5.18) |
т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.