Основные свойства определенных интегралов
Определенный интеграл
Оглавление.
1. Понятие определенного интеграла.
2. Основные свойства определенных интегралов.
3. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Интегрирование подстановкой.
5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
6. Несобственные интегралы.
7. Вычисление площадей плоских фигур.
8. Вычисление длины дуги плоской кривой.
9. Вычисление объём тела по площади поперечного сечения.
10. Вычисление объем тела вращения.
|
|
|
|
Понятие определенного интеграла
![]() |
Пусть дана функция









Составим сумму всех таких произведений
Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке
.
Определенным интегралом от функции на отрезке
называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю. Определенный интеграл обозначается символом
(читается: определенный интеграл от
до
);
называется подынтегральной функцией,
- переменной интегрирования,
- нижним,
- верхним пределом интегрирования.
Следовательно, по определению
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми
,
и осью
.
Теорема (существования определенного интеграла).
Если функция непрерывна на
, то для нее существует определенный интеграл, т.е. существует предел интегральной суммы, составленный для функции
на
, и этот предел не зависит от способа разбиения
на элементарные части и от выбора в них точек
, при условии, что
и наибольший
.
Отметим, что определенный интеграл - это число, в то время как неопределенный интеграл - это функция.
Основные свойства определенных интегралов
1. .
2. - интеграл от конечного числа алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.
3.
- определенный интеграл равен нулю при равенстве верхнего и нижнего пределов.
Замечание. До сих пор мы предполагали, что и
. Понятие определенного интеграла распространяется и на случай, когда
и
.
4. - при перемене верхнего и нижнего пределов интеграл меняет знак.
5. -постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
6. если
- неравенство можно почленно интегрировать.
7. - модуль от интеграла меньше или равен интегралу от модуля. Этот пункт отражает известную теорему: Модуль суммы меньше или равен суммы модулей.
Теорема о среднем. Если функция интегрируема на отрезке
и для всех
выполняется неравенство
, то
Формула Ньютона-Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.
Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула Ньютона-Лейбница)
Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке
, надо узнать ее первообразную функцию
и взять разность
значений этой первообразной на концах отрезка
.
Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный - это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется интегрирование
Пример. Вычислить интеграл .
Пример. Вычислить интеграл .
4. Интегрирование подстановкой.
Теорема: Имеет место равенство
где функция непрерывно дифференцируема на
,
,
и
непрерывна на
- образе отрезка
при помощи функции
.
Доказательство. Пусть и
- первообразные функции соответственно
и
. Тогда справедливо тождество
где - некоторая постоянная. Поэтому
На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.
Пример. Найти интеграл .
Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал
:
. В результате наш интеграл примет вид:
Преобразуем подынтегральное выражение:
Взяв этот интеграл, получим:
.
5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла
где и
- непрерывно дифференцируемые на
функции.
Доказательство. Произведение имеет на
непрерывную производную
Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница
Этим теорема доказана.
Пример.Найти интеграл .
Обозначим и
. Тогда
. Поэтому
Или, окончательно
.
Если - четная функция
, то
Пример.Найти интеграл .
Преобразуем этот интеграл к виду
Сделаем замену . В результате пределы интегрирования изменятся:
и
. В результате получим:
Далее, если - нечетная функция
, то
.
Если - периодическая функция периода
-
, то
.
Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.
Пример.Вычислить интеграл .
Преобразуем этот интеграл к виду:
Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:
Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:
Преобразуем далее
Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией .
График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.
Решение.Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени
, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от
до
будет выражаться формулой:
В нашем случае:
Пример. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией .
Решение.Имеем:
6. Несобственные интегралы.
Пусть на конечном полуинтервале задана функция
такая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале
, где
, но неограниченна в окрестности точки
. Тогда ее интеграл на
, или, что то же самое, на
не может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.
Однако может случиться так, что существует конечный предел
То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от на отрезке
и записывают в виде
В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.
Аналогично и на полуинтервале
В связи с этим выражение
называется интегралом от с единственной особенностью в точке
, если выполняется следующее условие: если
конечная точка, то функция
интегрируема на
при любом
удовлетворяющим неравенствам
, и, кроме того, не ограничена в точке
. Если же
, то про функцию
предполагается лишь, что она интегрируема на
при любом конечном
.
Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).
Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как
Пример. Найти .
Имеем .
При это выражение имеет предел
. Значит
.
Пример. Найти .
Имеем . Этот интеграл расходится.
Пример. Найти площадь бесконечной полосы (верзьера Аньези).
.
Далее, имеем .
Отсюда .
Аналогично вычисляется и первое слагаемое. В итоге получим:
.
Пример. Найти .
Данный интеграл - несобственный, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Однако этот интеграл сходится, так как