Физическое определение плотности тока.
Выделим элементарный объем трубки тока, ограниченный двумя близкорасположенными поверхностями, ортогональными к линиям тока.
Рис. 1
Пусть точка наблюдения принадлежит одной из этих поверхностей (см. рис.1). Будем считать, что трубка тока и поверхности выбраны так, что
- физически бесконечно малый объем, так что внутри этого объема характеристики заряженной среды от точки к точке не меняются. Тогда ясно, что указанные поверхности – участки параллельных плоскостей, перпендикулярных к линиям тока. Ясно также, что выделенный объем есть цилиндр (не обязательно круглый!) с площадью основания
(значок «
» показывает, что площадка
перпендикулярна линиям тока; полагаем, что
- физически бесконечно малая площадь) и высотой
. Здесь
- расстояние между указанными плоскостями,
- векторный элемент линии тока. Объем
можно записать через скалярное произведение
, где
=
, направление орта
совпадает с направлением скорости
переноса заряда. Внутри объема находится заряд
, который покинет выделенный объем за время
:
=
. Очевидно, что
, (7)
откуда в силу (5)
(8)
Обозначим через силу тока через элемент поверхности
. Ясно, что
, где элементарный заряд
определяется формулой (7). Тогда
, (9)
где - сила тока (в момент времени
) через элемент поверхности
, содержащий точку
. Соотношение (9) проясняет смысл термина «плотность тока».
Как известно, направление вектора определяется ортом
. Поэтому из соотношения (9) следует:
. (10)
Соотношение (9) можно рассматривать в качестве физического21 определения вектора .
Объемная плотность тока есть вектор, направление которого совпадает с направлением тока в точке
в момент времени
, а величина определяется из соотношения (10). Другими словами: пусть
есть физически бесконечно малая площадь, содержащая точку
и перпендикулярная линии тока в этой точке; величина объемной плотности тока
вводится так, чтобы произведение
равнялось силе тока
через элемент
в момент времени
.
Единица измерения плотности тока:[А/м2]. (СИ).
Рассмотрим теперь ток через элемент площади (физически бесконечно малый), содержащий точку
и произвольно ориентированный по отношению к линии тока в этой точке. Не ограничивая общности, будем считать элемент
плоским и будем считать, что граница элемента
принадлежит трубке тока, о которой говорилось выше. См. рис. 2. Пусть
- орт положительной нормали к элементу
.
Рис. 2
Важно: силе протекающего через площадку тока нужно приписывать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от того, протекает ли ток через в направлении произвольно выбранной положительной нормали к этой площадке или же в обратном ей направлении. (Тамм, стр.137-138).
Сила тока через ориентированную площадку
такая же, как сила тока
через площадку
, если
, и противоположна по знаку, если
, т.е.
. (12)
Ясно, что
.
Следовательно,
.
Окончательно,
. (13)
Очевидно, что интеграл
(14)
по любой кусочно-гладкой поверхности равен силе тока
через эту поверхность в момент времени
.
Интеграл (14) есть поток векторного поля через поверхность
. Соотношение (14) также можно принять за определение (математическое) силы тока.
Итак, сила тока - интегральная характеристика электрического тока, определяемая математически как поток вектора
через любую поверхность
.
Заметим, что в силу (13)
, (19)
где - проекция вектора
на положительную нормаль к
.
Задача. Движение зарядов происходит в цилиндрической области. Радиус цилиндра , ось цилиндра совмещена с осью
. Распространение заряда происходит в направлении
. Будем считать, что цилиндр имеет бесконечную протяженность вдоль оси
. Сила тока в любом сечении цилиндра плоскостью
постоянна и равна
. В каждый момент времени объемная плотность заряда в любой точке внутри цилиндра равна
, где
- полярный радиус,
- коэффициент пропорциональности. На единицу длины цилиндра приходится заряд
. Найдите объемные плотности заряда и тока.
Решение.
. (Ф1)
Пусть область - отрезок цилиндра единичной длины.
.
Следовательно,
, (Ф2)
где - поперечное сечение цилиндра.
. (Ф3)
Поэтому в силу (Ф2) и (Ф3)
. (Ф4)
Возвращаясь к (Ф1), получаем:
. (Ф5)
Пусть - скорость переноса заряда. В нашем случае
.
Объемная плотность тока
. (Ф5)
Остается найти величину скорости переноса заряда.
Частицы проходят отрезок единичной длины за время .
,
откуда
(Ф6)
Окончательно получаем:
. (Ф7)
Поверхностный и линейный токи.Если вдоль заряженной поверхности имеет место направленное движение носителей заряда, говорят о поверхностном токе, распределение которого описывается плотностью поверхностного тока
,
где - локальная средняя скорость частиц, направленная по касательной к линии тока. Плотность реального объемного и модельного поверхностного токов можно связать предельным переходом
,
где h -толщина слоя движущихся зарядов [Кураев, с.13, Батыгин с. 134].
Аналогично движение зарядов вдоль заряженной нити называют линейным током32. Его характеристика - плотность линейного тока (линейная плотность тока)
.
Очевидно, что плотность линейного тока равна заряду, переносимому в единицу времени через точку на линии тока, т.е. току, текущему вдоль нити
,
(см. размерности), - единичный вектор вдоль линии тока (см. выше).
Действительно, пусть элемент нити содержит точку
.
,
где - заряд элемента
нити;
.
Следовательно,
,
.