Примеры выполнения задания Д-2
Пример Д-2.1.Дано:
,
Найти уравнение вращательного движения колеса 2, окружное усилие S в точке касания колес 1 и 2 и натяжение нити в момент t1 = 3с (рис. 3.62).
Решение:
В данной задаче колеса 1 и 2 вращаются вокруг осей x1 и x2, а груз 3 совершает поступательное движение. Расчленим систему на составляющие тела и для каждого из них напишем дифференциальные уравнения движения.
На колесо 1 действуют движущая сила , сила тяжести
, составляющие реакции подшипника
и сила действия тела 2 на тело 1, разложенная на окружное усилие
и нормальную реакцию
.
Для колеса 1 имеем:
. (3.12)
К колесу 2 приложены сила тяжести , момент сил сопротивления
, составляющие реакции подшипника
, сила реакции нити
, сила действия колеса 1 на колесо 2, разложенная на окружное усилие
и нормальную реакцию
колеса 1, при этом по величине
.
Рис. 3.62. Расчетная схема к примеру Д-2.1
Для колеса 2 получим:
. (3.13)
К грузу приложены сила тяжести и реакция нити
. Для груза 3 имеем
(3.14)
где ось z параллельна заданной оси и направлена в сторону движения груза 3.
Так как колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то
и
.
Скорость и ускорение груза 3:
и
.
В связи с тем что надо найти выразим через
. Кроме того, известно, что
Уравнения (3.12) - (3.14) запишутся:
; (3.15)
; (3.16)
. (3.17)
.
Умножая обе части уравнения (3.15) на r2, (3.16) на – , (3.17) – на
и складывая левые и правые части полученных уравнений, будем иметь:
(3.18)
Подставляя числовые значения величин в (3.18), получим
= 0,86 + 0,17
.
Интегрируем это уравнение дважды:
Используя начальные условия задачи при t = 0
, определим постоянные интегрирования:
.
Cледовательно,
рад.
Это и есть искомый закон вращения тела 2. Реакцию нити Т найдем из уравнения (3.17):
.
При t = 3с Т = 3205 Н.
Окружное усилие S найдем из (3.16):
.
При t = 3с S = 6824 Н.
Ответ: рад, Т = 3205 Н, S = 6824 Н.
Задание Д-3. Принцип Даламбера
3.3.1 Определение реакции осей вращающихся тел
Используя условия задания Д-2 (рис. 3.32 - 3.61, табл. 9) определить реакции осей вращающихся тел 1 и 2 (для ) с помощью принципа Даламбера. В вариантах, где имеется соприкосновение колес 1 и 2, дополнительно найти усилие в точке их касания.
Принцип Даламбера заключается в том, что в любой момент времени активные силы, приложенные к точкам рассматриваемой механической системы, реакции связей и силы инерции точек механической системы образуют уравновешенную систему сил. Сила инерции материальной точки (знак «минус» показывает, что
направлены противоположно). Для твердого тела определяются главный вектор
и главный момент сил инерции
Известно, что если твердое тело совершает поступательное движение, то силы инерции имеют равнодействующую
, приложенную в центре масс тела. Силы инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, имеют главный вектор равный нулю, так как
, поэтому силы инерции приводятся к паре сил, момент которой относительно оси вращения (z):
.
знак «минус» показывает, что и
имеют противоположные направления.