III. Статистические характеристики ряда динамики
РЯДЫ ДИНАМИКИ
Вопросы:
1. Статистические ряды динамики и их значение.
2. Виды рядов динамики.
3. Статистические характеристики (показатели) ряда динамики.
4. Средние показатели динамики.
5. Методы выявления в рядах динамики основной тенденции развития.
6. Приемы изучения сезонных колебаний
1. Статистические ряды динамики и их
Значение в экономической работе
Все явления природы и общества непрерывно изменяются и развиваются. Поэтому статистика не могла бы правильно характеризовать явления общественной жизни, если бы они не изучала их в состоянии развития.
Процесс развития общественных явлений во времени называется их динамикой.
Для характеристики этих процессов составляют хронологические таблицы, в которых приводятся показатели за разные периоды времени. Эти показатели и образуют ряд динамики.
Динамическим рядом называется ряд статистических показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени.
Ряды динамики формируются в результате сводки и обработки материалов периодического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности.
Показатели динамики имеют важное значение для экономического анализа изучаемых явлений, они позволяют определить, как именно развиваются общественные явления: растут (или уменьшаются) их размеры по сравнению с предшествующими периодами, быстро или медленно происходит этот рост и т.д. Для выяснения этих вопросов нужно иметь данные, характеризующие величину изучаемого явления за ряд периодов или на несколько дат.
Используя данные, имеющиеся в отчетности организаций статистика дает достаточно исчерпывающую характеристику динамики экономики.
П. Виды рядов динамики
Для правильного анализа динамических рядов необходимо знать их виды, которые выделяются при группировке элементов ряда по разным признакам.
1. По времени, отражаемому в динамических рядах, они разделяются на моментные и интервальные.
Моментным - называется ряд, абсолютные уровни которого характеризуют величину явления по состоянию на определенные моменты времени, определенные даты.
Интервальным - называется такой ряд, абсолютные уровни которого характеризуют величину изучаемого показателя, полученную в итоге за определенный период времени (по месяцам или по годам). Отличительной особенностью интервальных рядов является то, что их уровни можно дробить и складывать.
2. По полноте времени, отражаемого в рядах динамики, их можно разделить на ряды полные и неполные. В полных рядах даты или периоды следуют друг за другом с равным интервалом. В неполных рядах в последовательности времени равный интервал не соблюдается.
3. По способу выражения уровней рядов динамики они могут быть рядами абсолютных, средних и относительных величин.
Основные требования, предъявляемые к анализу динамических рядов - это сопоставимость уровней.
Каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды, в которых могут происходить изменения, приводящие к несопоставимости отчетных данных с данными других периодов.
Несопоставимость уровней может возникнуть по различным причинам. Важнейшие из них такие: территориальные изменения, изменения единицы счета, изменения курса валюты, различная степень охвата явления статистическими наблюдениями, несовершенство методологии статистического наблюдения.
Например, при изучении динамики товарооборота по внутригодовых периодам несопоставимость возникает при неодинаковой продолжительности периодов, т.е. месяцев, кварталов, полугодий.
Для анализа интенсивности развития объемные данные за разновеликие периоды пересчитываются (с учетом фактического рабочего времени) в среднесуточные показатели. Это устраняет несопоставимость уровней рядов динамики и ограждает от ошибок в выводах.
Пример 1.Имеются данные о розничном товарообороте дежурных продовольственных магазинов города по кварталам года:
| Показатели | Кварталы | |||
| I | II | III | IV | |
| Объем розничного това-рооборота, млн.руб. Число дней в квартале Среднесуточный товарооборот, тыс.руб. | 61,8 813,2 | 60,9 812,0 | 63,2 810,3 | 62,7 814,3 |
Из таблицы видно, что для Ш квартала характерными являются наибольший объем товарооборота и одновременно самая низкая интенсивность.
Несопоставимость в рядах динамики также может возникнуть в связи с административно-территориальными изменениями.
Для того, чтобы привести уровни в ряду динамики к сопоставимому виду, приходится прибегать к приему, который называется «смыкание рядов динамики». Это необходимо в случае, когда первоначально имеются уровни ряда, исчисленные по одной методологии, или в одних границах, а затем уровни, исчисленные по другой методологии или в других границах. Для того, чтобы произвести смыкание этих двух рядов в один, необходимо, чтобы для переходного звена имелись уровни, исчисленные по разной методологии или в разных границах.
| Методология расчета | Объем товарооборота, млн.руб | |||
| Старые границы | - | - | ||
| Новые границы | - |
Для приведения этой информации к сопоставимому виду производится расчет коэффициента соотношения двух уровней:
Кс = 560 : 370 = 1,5
Умножая на этот коэффициент объем товарооборота в 1999 г. получаем:
356 · 1,5 = 534 млн.руб.
Строим ряд динамики сопоставимых уровней в новых границах (млн.руб.):
Несопоставимость в ряду динамики происходит при изменениях в методике учета изучаемого показателя. Например, в связи с переходом в 1987 г. торговли на новые условия хозяйствования образован фонд оплаты труда за счет распределяемых доходов. Для получения сопоставимых данных о текущих затратах торговли по годам пятилетки необходимо из суммы издержек обращения в данных до 1987г. исключить расходы на заработную плату.
III. Статистические характеристики ряда динамики
При изучении динамики социально-экономических явлений используют некоторые статистические характеристики (показатели), которые позволяют измерить изменение явлений во времени.
Большинство статистических характеристик основано на абсолютном или относительном сравнении уровней динамических рядов. К показателям динамики относятся: абсолютный прирост, темпы роста и прироста, абсолютное значение одного % прироста.
Символика обозначений уровней ряда динамики:
- каждый показатель ряда динамики называется уровнем;
- уровень изучаемого i-го периода;
- начальный уровень;
- конечный уровень;
- уровень, предшествующий изучаемому периоду;
- базисный уровень;
- средний уровень.
1) Абсолютный прирост - называется разность последующего и предыдущего уровней ряда динамики:
где 
- текущий уровень ряда динамики;
- предыдущий уровень;
- абсолютный прирост.
За весь период, абсолютный прирост выразится как разность между последним уровнем ряда и первым его уровнем:
где 
- последний уровень ряда;
- первый уровень.
Абсолютный прирост может иметь положительный или отрицательный знак. Он показывает, насколько уровень текущего периода выше или ниже базисного.
Абсолютный прирост определяется на базисной и цепной основе.
При определении накопленных (базисных) абсолютных приростов за базу сравнения принимается постоянный уровень и расчет производится по формуле:
При определении цепных абсолютных приростов базой сравнения каждый раз выступает уровень предыдущего периода, и расчет абсолютных приростов производится по формуле:
Между базисными и цепными абсолютными приростами имеется связь: сумма цепных абсолютных приростов 
равна базисному абсолютному приросту последнего периода ряда динамики 
.
Пример. Производство часов наручных характеризуется следующими данными:
| Год | Выпуск часов наручных, млн.шт. |
| 21,7 31,3 33,3 35,3 37,0 38,5 40,37 |
Определите: абсолютные приросты (по годам и к базисному 1998г.):
| 
|
 
 
| 
 
|
2) Темп роста 
: называется отношение данного уровня явления к предыдущему или начальному, выраженное в %. Если темп роста выражен в коэффициентах, то он называется коэффициентом роста.
Темпы роста, исчисленные как отношение данного уровня к предыдущему, называются цепными, а к начальному – базисными:
или 
где 
- текущий уровень ряда;
- уровень, предшествующий;
- базисный уровень.
Пример 2. определите темпы роста производства часов наручных
а)- по годам, и б)- к базисному 1998г.
а) 
1999г. 33,3 : 31,3 = 1,0639 или 106,39 %
2001г. 35,3 : 33,3 = 1,06006 или 106,006 %
2001г. 37,0 : 35,3 = 1,04815 или 104,815 %
2002г. 38,5 : 37,0 = 1,04054 или 104,054 %
2003г. 40,37:38,5 = 1,04857 или 104,857 %
б) 
1999г. 33,3 : 31,3 = 1,0639 или 106,39 %
2000г. 35,3 : 31,3 = 1,1278 или 112,78 %
2001г. 37,0 : 31,3 = 1,1821 или 118,21 %
2002г. 38,5 : 31,3 = 1,23003 или 123,003 %
2003г. 40,37:31,3 = 1,2898 или 128,98 %.
Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста:
3). Темп прироста 
- называется отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, выраженное в %.
или 
Если при определении темпов прироста DТ предварительно были исчислены темпы роста Тр, то расчет темпов прироста производят так:
DTпр = Тр - 1; или DTпр = Тр - 100%,
если темп роста выражен в %.
Пример: определите темп прироста -
а) по годам, и б) к базисному 1998 году).
| Годы | 
| 
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Важным статистическим показателем является темп наращивания,который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потерциала. Вычисляются темпы наращивания 
делением цепных абсолютных приростов 
на уровень , принятый за постоянную базу сравнения 
:
Темпы наращивания можно непосредственно определять по базисным темпам роста:
4). Абсолютное значение одного % прироста (А%) показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем - одним процентом прироста.
Показатель абсолютного значения одного % прироста (А%) определяется путем отношения (в каждом периоде) абсолютного прироста D yц к темпу прироста DTпр ц. Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе:
Пример. Рассчитать уровень абсолютного значения одного процента прироста.
1999г. 
;
2000г. 
;
2001г. 
;
2002г. 
;
2003г. 
.
При анализе погодовых уровней ряда динамики расчет абсолютного значения 1% прироста можно произвести по схеме:
А% = 0,01 уi-1.
IV. СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
ДИНАМИКИ
Для вышеназванных показателей могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин. Использование средних показателей порой становится просто необходимым. Например, сельскохозяйственная продукция в огромной степени зависит от погодных условий данного года и сравнение годовых показателей становится нецелесообразным. Правильнее сравнивать среднегодовые приросты и темпы роста за определенные промежутки времени.
1. Средний уровень ряда называется также хронологической средней или временной средней. Средний уровень ряда рассчитывается по-разному для моментных и интервальных рядов динамики.
Чтобы найти средний уровень интервального ряда, достаточно сумму уровней этого ряда разделить на число периодов, к которым она относится, т.е.
где å у - сумма уровней ряда;
n - число уровней ряда.
Следовательно, средняя хронологическая интервального ряда динамики вычисляется по формуле средней арифметической простой.
Если отдельные периоды интервального ряда динамики имеют неодинаковую длину, то для определения среднего уровня следует воспользоваться средней арифметической взвешенной, т.е. рассчитать его, взвешивая уровни по числу равных периодов.
Cредний уровень моментного ряда динамики так исчислять нельзя.
Для моментных рядов динамики при неполных уровнях применяется взвешивание сумм каждой смежной пары уровней по продолжительности периода между ними, т.е.
где: t1 - время (в соответствующих единицах) между моментом регистрации у1 и моментом регистрации у2 ;
t2 - время между моментом регистрации у2 и у3 и т.д.
В знаменателе берется удвоенная сумма периодов, поскольку каждое слагаемое числителя суммируется два раза.
С помощью метода математической индукции, для «n» уровней формула среднего уровня моментного ряда записывается:
2. Средний абсолютный прирост - это средняя из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода.
Обычно расчет среднего абсолютного прироста производят по цепным абсолютным приростам D уц по формуле:
где: 
- абсолютный прирост (цепной);
n - число абсолютных приростов за
период.
Средний абсолютный прирост можно исчислить и непосредственно по абсолютным уровням ряда динамики «у» по формуле:
где m - число учетных единиц времени в ряду динамики.
В тех случаях, когда в качестве исходных материалов даны накопленные (базисные) абсолютные приросты Dуб, и основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами, расчет среднего абсолютного прироста производится по формуле:
3. При исчислении среднего темпа роста нужно учитывать, что скорость развития явлений идет по правилам сложных %, где накапливается прирост на прирост. Поэтому средний темп роста принято вычислять по формуле средней геометрической из темпов роста за составляющие период промежутки времени. Применительно к рядам динамики формула средней геометрической в общем виде записывается так:
где: 
- произведение цепных темпов
роста (в коэффициентах);
n - число темпов.
Основные методы определения средних темпов динамики:
1). Исчисление среднего темпа по цепным темпам роста:
где Тц - цепные темпы роста (в
коэффициентах);
n - число темпов.
2). Расчет среднего темпа динамики по базисным темпам роста:
где Тб - базисный темп роста ( в
коэффициентах);
m - число учетных единиц времени
в изучаемом периоде.
3).Расчет среднего темпа роста по абсолютным уровням ряда динамики:
где уn - конечный уровень ряда динамики;
уо - базисный уровень ряда динамики;
m - число учетных единиц времени в изучаемом периоде.
4. Среднегодовой темп прироста вычисляется на основе данных среднегодового темпа роста:
V. Методы выявления в рядах динамики основной тенденции развития
Важным направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития (тренда). Это осуществляется с использованием специальных методов анализа рядов динамики. Конкретное их использование зависит от характера исходной информации и задач анализа.
Изменения уровней рядов динамики обусловлены влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их воздействия. Постоянно действующие факторы оказывают определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется периодически. Это вызывает повторяемые во времени колебания уровней рядов динамики. Действие разовых (спорадических) факторов отображается случайными (кратковременными) изменениями уровней рядов динамики.
Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обусловливают необходимость изучения основных компонентов рядов динамики:
1. тренда;
2. периодических колебаний;
3. случайных отклонений.
Особенностью изучения рядов динамики является то, что основная тенденция роста в одних рядах проявляется при визуальном обзоре исходной информации, а в других рядах динамики она не проявляется и может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.
Потребности квалифицированного управления предприятием, прогностические и другие цели обусловливают необходимость придания основной тенденции развития обобщающей количественной оценки.
Наиболее распространенными методами статистического изучения тренда являются:
1. Укрупнение интервалов.
2. Сглаживание скользящей средней.
3. Аналитическое выравнивание.
1. Метод укрупнения интерваловприменяется для выявления тренда в рядах динамики колеблющихся уровней, скрывающих основную тенденцию развития. Основа метода заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряды более продолжительных периодов (месячные в квартальные, квартальные в годовые и т.д.).
2.Сглаживаниеметодом скользящей среднейпредусматривает определение по исходным уровням (эмпирическим данным) расчетных (теоретических) уровней. При этом путем осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде некоторой плавной линии.
Основное условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого число уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов.
Например, для ряда динамики, отображающего развитие явления по кварталам, скользящие средние обычно составляются из четырехчленных звеньев. Их расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой скользящей средней одного уровня слева и присоединением одного уровня справа:
Первая средняя 
Вторая средняя 
Третья средняя 
и т.д.
Для четного числа уровней каждое значение скользящей средней приходится на промежуток между двумя смежными кварталами. Так, первая скользящая средняя 
записывается между II и III кварталами, вторая 
- между III и IV кварталами. Для определения сглаженных уровней производится центрирование 
. Для III квартала определяется серединное значение между первой и второй скользящими средними, для IV квартала центрируются вторая и третья скользящие средние. Полученные значения сглаженных уровней изображаются на графике, где проявляется основная тенденция развития явления.
При применении метода скользящей средней в ряду динамики месячных уровней рассчитываются 12-членные скользящие средние:
и т.д. с последующим центрированием полученных значений.
Если при сглаживании рядов динамики звенья скользящей средней составляются из нечетного числа уровней, то необходимость в центрировании отпадает.
Применение в анализе рядов динамики двух вышеперечисленных методов позволяет выявить тренд для его описания, но получать обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Измерение тренда может быть достигнуто методом аналитического выравнивания.
4. Метод аналитического выравнивания.
При этом методе уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:
При теоретическом анализе выявляется характер развития явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления, т.е. определяется адекватная математическая функция.
Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов, т.е. минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическими 
и эмпирическими 
уровнями:
Это является критерием оценки соответствия теоретических уровней с эмпирическими уровнями ряда динамики.
Одним из условий обоснованного применения метода аналитического выравнивания является знание типов развития социально-экономических явлений во времени:
1) равномерное развитие. Для этого типа динамики соответствуют постоянные абсолютные приросты:
Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции:
где 
и 
- параметры уравнения;
t - обозначения времени.
Параметр является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если 
то уровни ряда динамики равномерно возрастают, а при 
происходит их равномерное снижение;
2) равноускоренное (равнозамедленное) развитие.Данному типу свойственно постоянное во времени увеличение или замедление развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста:
Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:
Параметр 
характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени). При 
происходит ускорение развития, а при 
идет процесс замедления роста. Параметр 
может быть как со знаком плюс, так и со знаком минус.
3) развитие с переменным ускорением (замедлением). Для данного типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:
Параметр 
отображает изменение ускорения. При 
ускорение возрастает, а при 
ускорение замедляется.
4) развитие по экспоненте. Данный тип динамики характеризуют стабильные темпы роста:
Основная тенденция в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией:
где 
- темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е.интенсивность развития.
5) развитие с замедлением роста в конце периода. У этого типа динамики показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики:
Основная тенденция развития в таких рядах динамики выражается полулогарифмической функцией:
При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применить и другие математические функции. Так, при изучении основной тенденции неудовлетворенного и реализованного спроса населения применяются:
степенная функция - 
функция гиперболы - 
Логистическая форма тренда имеет вид кривой, похожей на латинскую букву sположенной на бок. Ввиду этого ее также называют эсообразной кривой. Она имеет два перегиба, для которых характерны ускоряющийся рост к равномерному развитию (вогнутость) и от равномерного роста посреди периода к замедляющемуся процессу (выпуклость). Логистическая форма тренда выражается формулой:
,
где е - основание натуральных алгоритмов;
и 
- минимальное и максимальное из возможных значений уровня;
а и в - параметры тренда.
Данная функция может быть использована для отображения развития явления в течение длительного периода времени, проходящего все фазы своего развития. Например, процесса насыщения демографической группы потребителей определенным видом товара, сначала медленный, но все более ускоряющийся рост доли семей, имеющих этот товар, затем рост равномерный, потом он замедляется при приближении к 100 %.
При условии, если 
или 100 %, то уравнение логистической формы тренда принимает вид:
.
Рассмотрим как производится выравнивание ряда динамики по прямой линии:
где 
- значения уровней выравненного ряда, которое нужно вычислить;
и 
- параметры прямой;
t - показатели времени (дни, месяцы, годы и т.д.
Для вычисления параметров функции на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:
Для решения системы уравнений обычно применяется способ определителей, позволяющий получать более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округлений в расчетах параметров:
По вычисленным параметрам производится синтезирование трендовой модели функции.
На основе модели определяются теоретические уровни тренда 
для каждого года анализируемого ряда динамики. Правильность расчетов проверяется по равенству:
При изучении социально-экономических явлений приходится иметь дело со сложным механизмом взаимодействия факторов, формирующих тренд. Поэтому не всегда можно получить надежные выводы о типе и виде математической функции. В лучшем случае может быть выдвинута рабочая гипотеза о возможных типах развития. Но выбор на этой основе конкретной математической функции очень затруднителен, особенно если развитие идет по криволинейным функциям.
Для подтверждения гипотезы о возможном типе развития можно использовать графический метод. Наглядное изображение позволяет получать образное представление о размещении на поле графика эмпирических уровней. Однако дать обобщенную статистическую характеристику тренда графический метод не может.
Одним из используемых в практике изучения тренда показателей адекватности математической функции является стандартизованная ошибка аппроксимации 
Применение данной формулы основано на том, что за наиболее адекватную принимается функция, у которой стандартизованная ошибка аппроксимации минимальная.
Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы 
При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают за условное начало отсчета времени с интервалом (+1) всех последующих уровней и (-1) всех предыдущих уровней.
Например, при n = 5 обозначения времени будут следующими: - 2, - 1, 0, + 1, + 2. При четном числе уровней, например, n = 6 порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: - 1, - 3, - 5, а нижней половины ряда обозначаются: + 1, + 3, +5.
При использовании способа условного обозначения времени, когда 
параметры математических функций определяются по формулам:
А) для прямолинейной функции
б) для параболы второго порядка
в) для параболы 3-го порядка
параметры рассчитываются по формулам:
.
VI. Изучение сезонных колебаний
Под сезонными колебаниями понимаются более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней развития социально-экономических явлений. Проявляются они с различной интенсивностью во всех сферах жизни общества: производстве, обращении и потреблении.
При статистическом изучении в рядах внутригодовой динамики сезонных колебаний решаются следующие две взаимосвязанные задачи:
1. выявление специфики развития изучаемого явления во внутригодовой динамике;
2. измерение сезонных колебаний изучаемого явления с построением модели сезонной волны.