Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

кафедра математики и физики

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

для студентов заочной формы обучения

Минск 2006

Составитель Т.К. Гресюк

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

«20» марта 2006 г., протокол № 8

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Бесконечно малая величина

Бесконечно большая величина

Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой

Понятие о пределе переменной величины

5) Предел функции

Мы знаем, что в математике и ее приложениях встречаются величины постоянный и величины переменные. На числовой оси постоянной величине соответствует неподвижная точка , а переменной величине - движущаяся вправо или влево точка .

Закон изменения переменной величины можно задать последовательностью числовых значений, которые она принимает.

Бесконечно малая величина

Возьмем переменную величину , принимающую последовательно значения:

; ; ; … …

или

; ; ; … …

По мере увеличения номера места, занимаемого числами этих последовательностей, абсолютная величина уменьшается, и какое бы мы малое положительной число ни выбрали, в каждой из этих последовательностей найдется число, начиная с которого абсолютная величина значений будет меньше выбранного .

Пусть например , то начиная с шестого члена, который равен , все за ним следующие члены будут меньше по абсолютной величине заданного нами .

В этом случае говорят, что величина неограниченно близко приближается к нулю или стремиться к нулю .

Определение: Бесконечно малой величиной называется переменная величина , которая при своем изменении становится, а в дальнейшем и остается меньше по абсолютной величине сколь угодно малого положительного числа

. (1)

Это значит, что для любого сколь угодно малого найдется , что для всех будет выполняться, что .

Бесконечно большая величина

Пусть переменная величина принимает последовательно значения:

; ; ; … …

или

- ; - ; - ; … - …

Мы видим, что абсолютная величина возрастает с увеличением номера , то есть, задав , , мы найдем в заданной последовательности номер , что для всех будет выполняться неравенство

.

Определение: Бесконечно большой величиной называется переменная , которая при своем изменении становится, а в дальнейшем и остается, по абсолютной величине больше сколь угодно большого положительного числа , то есть

.

Если бесконечно большая величина, то условились записывать .

Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует обратная зависимость, а именно:

если - бесконечно малая величина, не равная 0, то обратная ей величина - бесконечно большая величина ( - б/м, то - б/б);

если - бесконечно большая величина, то обратная - бесконечно малая величина.