ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Для успешного вычисления пределов функций необходимо знать следующие теоремы:

1) , где - постоянная;

2) , где - постоянная;

3) если и существуют, то

,

;

4) , если ;

5) ;

6) I и II замечательные пределы:

,

,

.

 

 

Рассмотрим сначала непосредственное нахождение предела функции:

 

Пример 1: Найти .

Проверим, не обращается ли значение знаменателя в нуль при :

.

Подставим предельное значение функции и получим:

.

 

Пример 2: Если предел делителя равен 0, а предел делимого есть число, отличное от нуля, то предел дроби не существует или дробь имеет бесконечный предел:

.

 

Пример 3:

.

Так как - бесконечно малая величина, а обратная ей - бесконечно большая величина.

;

.

 

Пример 4:

.

 

Пример 5:

.

 

 

Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения вида:

; ; ; ; .

Их называют «неопределенностями».

В этих случаях для нахождения предела необходимо предварительно выполнить некоторые преобразования данного выражения.

 

 

Рассмотрим некоторые приемы.

 

Пример 1: Вычислить

 

Пример 2: Вычислить

 

Пример 3: Вычислить

 

Итак, чтобы найти предел частного двух функций, где пределы числителя и знаменателя равны 0, нужно преобразовать функцию таким образом, чтобы выделить в делимом и делителе сомножитель, предел которого равен и сократить дробь на этот сомножитель, найти предел частного.

Нужно знать формулы:

 

Пример 4:

 

Пример 5:

Пример 6:

 

Пример 7:

 

Рассмотрим примеры отыскания предела функции при .

 

Пример 8:

Знаменатель – бесконечно большая величина, а обратная ей – бесконечно малая величина, следовательно, .

 

Пример 9: Найти - числитель и знаменатель бесконечно большие величины, то есть неопределенность вида .

Преобразуем данное выражение, разделив числитель и знаменатель на , получим:

, так как ; .

 

Пример 10:

.

 

Пример 11:

 

Пример 12:

 

Пример 13:

Пример 14:

 

 

Рассмотрим примеры, в которых используются I и II замечательные пределы.

 

 

Пример 15: Найти ,

 

Пример 16:

 

 

При решении более сложных примеров нередко используют эквивалентность бесконечно малых величин.

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если .

при , ;

,

то есть одну бесконечно малую величину можно заменить ей эквивалентной.

 

Пример 17:

 

Пример 18:

, при

, при

 

Рассмотрим вычисление пределов с использованием II замечательного предела.

 

 

Пример 19:

 

 

Пример 20:

, так как ,

а показатель степени

 

Пример 21:

,

так как , а (смотрите свойство 5)

 

Пример 22:

,

так как , где , а показатель степени

 

Пример 23:

План 2005/2006, поз.

 

 

Гресюк Татьяна Казимировна

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

 

 

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

Теория пределов

 

для студентов заочной формы обучения

 

 

Редактор Н.В. Вердыш

 

Подписано к печати _______________

Формат 60х84/16

Усл. печ. л. _______уч.-изд. л. ______

Тираж __________ экз. Заказ _______

 

 

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

220114, г. Минск, ул. Ф.Скорины 8, к. 2