Іінтегрування заміною змінної.

Означення та властивості невизначеного інтеграла.

Треба знати, що функція у даному проміжку називається первісною функцією для функції або, коротше, первісною функції , якщо на всьому проміжку функція є похідною функції , тобто

.

Будь-яка первісна для функції може бути подана сумою, тобто , де - довільна стала (константа).

Сукупність усіх первісних функцій на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції і позначається

.

Слід звернути увагу на властивості невизначеного інтеграла:

1. , тобто знаки диференціала і інтеграла взаємно скорочуються, або ;

2. або .

Знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням функції і, як видно з відзначених вище властивостей, інтегрування і диференціювання є взаємно оберненими операціями.

З таблиці похідних безпосередньо витікає таблиця інтегралів.

Таблиця інтегралів елементарних функцій

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Диференціюванням перевірте вірність даної таблиці!

Можливості застосування таблиці інтегралів розширюються з використанням найпростіших правил інтегрування:

1. - сталий множник можна виносити з-під знака інтеграла;

2. - невизначений інтеграл від суми (різниці) функції дорівнює суми (різниці) інтегралів від кожної функції окремо;

3. Якщо , то

. (6.1)

Диференціюванням переконайтеся у вірності наведених співвідношень.

Особливо часто зустрічаються випадки, коли у рівності (6.1) або :

,

.

Приклад 6.1. Обчислити невизначений інтеграл .

Розв’язок. Використовуючи правила 1 та 2 і формулу 1 таблиці інтегралів, маємо:

.

Слід відмітити два основних методи інтегрування, що дозволяють зводити інтеграли до більш простих інтегралів, які або є табличними, або легко до них зводяться. До цих методів належать інтегрування частинами та інтегрування заміною змінної.

На закінчення розділу наведемо деякі інтеграли, які можуть бути корисними у обчисленнях:

, ;

;

.

 

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §1, п. 1; 5, гл. 5, §5.1; 6, гл. Х, § 1-3].

 

 

Інтегрування частинами.

Нехай функції і мають неперервні похідні. Тоді має місце рівність

,

або

. (6.2)

Докажіть ці рівності що передають правила інтегрування частинами.

Загальне правило полягає у поданні підінтегральної функції у вигляді добутку , знаходженні первісної для функції і застосуванні формули (6.2). Метод є ефективним, якщо другий інтеграл у (6.2) виявиться простішим ніж перший.

Для інтегралів типу

де - многочлен го степеня, слід прийняти

а для інтегралів типу

,

слід прийняти

, .

Приклад 6.2. Обчислити невизначені інтеграли: 1) ; 2) .

Розв’язок. Використовуючи правило інтегрування частинами, маємо:

Запам’ятайте, що довільну сталу при находжені можна як це видно з прикладу 6.2, не писати.

 

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, § 1, п. 3; 5 гл. 5, § 5.2; 6, гл. Х, § 6].

 

Іінтегрування заміною змінної.

Нехай - первісна функції , функція має неперервну похідну. Тоді

,

Прикладом заміни змінної є формула (6.1). Зверніть увагу, що після заміни змінної (підстановки) і інтегрування треба повернутися до старої змінної величини.

Можлива й інша форма заміни змінної:

де - первісна функції ; - обернена функція до

Вдалий вибір нової змінної істотно полегшує обчислення інтеграла.

Приклад 6.3. Обчислити невизначені інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Розв’язок. Використовуючи правило інтегрування частинами, маємо:

.

.

У останньому інтегралі підстановка , обрана так, щоб усі корені “добувалися”. Вибір вдалої підстановки вимагає певної навички. Для деяких класів інтегралів (див. нижче) можна вказати відповідні підстановки.

Заміну змінної можна виконувати і у неявному виді, наприклад,

розуміючи тут підстановку .

 

Л і т е р а т у р а: [4 ,гл. 6, § 1, п. 2; 5, гл. 5, § 5.2; 6, гл. Х, § 4].