Абсолютні та відносні величини

У процесі статистичного спостереження отримують дані про значення тих чи інших ознак, що характеризують кожну одиницю досліджуваної су­купності. Для характеристики сукупності в цілому або окремих її частин дані по окремих одиницях сукупності піддають зведенню. Шляхом безпосеред­нього підсумовування первинних даних отримують узагальнюючі абсолютні показники, які характеризують чисельність сукупності і обсяг (розмір) досліджуваного явища в конкретних межах часу і місця.

Абсолютні показники мають велике пізнавальне і практичне значення. Знання рівнів, розмірів і обсягів абсолютних статистичних показників необхідне для планування, управління і аналізу господарської діяльності народного господарства, його галузей і підприємств. В абсолютних показ­никах встановлюється більшість планових завдань по розвитку народного господарства, задоволення потреб суспільства в різноманітних продуктах і послугах, здійснюється контроль за їх виконанням.

За допомогою абсолютних показників характеризують обсяг виробле­ного у країні валового внутрішнього продукту, валового національного доходу, вартість основних фондів, чисельність працівників, фонд заробітної плати підприємства, виробництво продукції в господарстві та інші соціаль­но-економічні явища.

Абсолютні показники- це величини, які виражають розміри суспільних явищ як таких без відношення їх до інших явищ. Наприклад, на 5 грудня 2001 р. чисельність населення України становила 48,4 млн. чол., а фермер­ських господарств - на 1.01.2002 р. - 42350.

Абсолютні показники виражають розміри суспільних явищ в певних межах часу і території. Вони є іменованими числами, завжди мають певну розмірність і одиниці вимірювання.

Залежно від характеру явища і завдань дослідження абсолютні показни­ки виражаються в натуральних, вартісних, трудових і умовно-натуральних одиницях вимірювання.

Абсолютні показники можуть виражати розміри, обсяги і рівні суспільних явищ на певний момент (на 1.01.2003 р. поголів'я корів в господарстві становило 770 гол.) і за певний період часу (виробництво молока в господарстві за 2002 р. становило 21 600 ц).

За способом вираження розмірів досліджуваних явищ абсолютні по­казники підрозділяються на індивідуальні, групові та загальні.

Індивідуальниминазивають такі абсолютні показники, які виража­ють розміри кількісних ознак у окремих одиниць сукупності. Наприклад, чисельність працівників підприємства, виробництво валової продукції в агрофірмі, прибуток підприємства та ін.

Груповіабсолютні показники виражають розміри ознаки або чисель­ність одиниць у окремих частин (груп) сукупності. їх отримують при об­робці матеріалів статистичного спостереження шляхом підсумовування абсолютних розмірів ознаки у окремих одиниць сукупності або підрахунку числа одиниць сукупності, що входять в окремі групи.

Загальниминазивають абсолютні показники, які виражають розміри ознаки у всіх одиниць сукупності. Вони є результатом зведення даних ста­тистичного спостереження. Наприклад, фонд заробітної плати господарств району, вартість основних виробничих фондів в СТОВ області, валовий збір картоплі в країні та ін.

Абсолютні показники відіграють важливу роль в системі статистичних показників. Разом з тим при вивченні соціально-економічних явищ стати­стика не може обмежуватись обчисленням тільки абсолютних показників, тому що вони часто не дають достатньо повного уявлення про досліджуване явище. Так, наприклад, при зіставленні абсолютного показника виробництва яловичини в господарстві, припустимо 3600 ц з плановим рівнем, рівнем минулого року або встановленим проектом, стають добре видними успіхи і недоліки в роботі господарства. Якщо приріст виробництва порівняно з минулим роком становив + 12%, а план виконано на 97% і по відношенню до проектної потужності становить 92%, то стає ясним, що господарство має достатні резерви для збільшення виробництва яловичини. Тому в ста­тистичному аналізі поряд з абсолютними величинами виникає потреба розрахунку похідних узагальнюючих показників - середніх і відносних показників.

Відносниминазивають показники, які виражають кількісні співвідно­шення між соціально-економічними явищами. їх одержують в результаті ділення двох абсолютних або середніх величин.

При цьому ту величину, з якою порівнюють, називають основою,або базою порівняння,а порівнювану величину - поточною,або звітною.

Логічною формулою відносної величини є така звичайна дріб:

Величина порівняння

Відносна величина = -----------------------------.

База порівняння

 

При обчисленні відносних величин слід мати на увазі, що в чисельнику завжди знаходиться показник, що відображає те явище, яке вивчається, тобто порівнюваний показник, а в знаменнику - показник, з яким порів­нюють, що приймається за основу, або базу порівняння.

Відносні показники мають велике аналітичне значення. Вони обчис­люються для одержання характеристики різноманітних сторін суспільного життя. За їх допомогою виражають ступінь виконання народногосподар­ських планів, ефективність та інтенсивність суспільного виробництва, про­дуктивність праці, ступінь задоволення матеріальних і культурних потреб людей, структуру і динаміку виробництва та ін.

За допомогою відносних показників можуть порівнюватися одноймен­ні та різнойменні величини.

Одним з найважливіших достоїнств відносних показників є те, що во­ни дають змогу порівнювати такі явища, абсолютні розміри яких безпосе­редньо неспівставні. Наприклад, виробництво валової продукції сільського господарства на 100 га земельних угідь, щільність населення, виробництво окремих видів продуктів харчування на душу населення та ін.

Залежно від бази порівняння відносні показники можуть бути виражені різними формами: коефіцієнтами (частками), процентами (%), проміле (%о),

продецеміле (%оо).

Якщо база порівняння приймається за одиницю (прирівнюється до одиниці), то відносна величина (результат порівняння) називається коефі­цієнтом(часткою) і показує в скільки разів досліджувана величина більше основи. Якщо значення основи, або базу порівняння, прийняти за 100%, результат обчислення відносної величини буде виражений в процентах.

Щоб уникнути важкосприйнятних дрібних відносних величин, базис­на величина приймається іноді за 1000 або 10 000 одиниць. В тих випадках, коли базу порівняння приймають за 1000 (наприклад, при обчисленні демо­графічних коефіцієнтів), результат порівняння виражається в проміле, а коли за 10 000 - продецеміле. Використовуються при порівняннях явищ, які рідко зустрічаються, щоб придати відносним величинам зручний для сприй­няття вид. Наприклад, замість числа тракторів на 100 га ріллі 1,87 засто­совують проміле 18,7 шт. на 1000 га.

В тих випадках, коли величина, що порівнюється, більше основи, від­носний показник може бути виражений або коефіцієнтом, або в процентах. Коли порівнюваний показник менше основи, відносний показник краще виражати в процентах, якщо порівняно малі за числовим значенням величи ни зіставляються з великими, відносні показники виражаються в проміле або продецеміле. Так, в цих формах вираження розраховуються коефіцієнти народжуваності, смертності, природного і механічного приросту населен­ня, шлюбності, розлучень, число осіб з вищою освітою і число лікарняних ліжок на 10 000 чол. населення та ін.

Залежно від змісту і пізнавального значення розрізняють такі основні види відносних показників: структури, планового завдання, виконання пла­ну, динаміки, інтенсивності, координації, диференціації, порівняння та ін.

Відносні показники структуриявляють собою відношення частини до цілого або питому вагу частини одиниць в загальному обсязі сукупності. Вони характеризують структуру і склад досліджуваної сукупності, що дає змогу виділити в складному явищі головні ланки, елементи і зосередити на них увагу при подальшому аналізі. їх одержують в результаті ділення зна­чення кожної частини сукупності на їх загальний підсумок. Ці показники виражаються в частках одиниці (коефіцієнтах) або процентах. Показники структури за будь-якою ознакою, що в сумі дають 100%, складають струк­турний ряд.Прикладом відносних показників структури можуть бути склад населення України за статтю (див. табл. 3.2), питома вага корів в загальній чисельності великої рогатої худоби, структура посівних площ, собівартості, затрат праці, продукції та ін.

Відносний показник планового завданняявляє собою відношення величини показника, який встановлюється на плановий період, до його ве­личини, досягнутої за попередній період або будь-який інший період, що приймається за базу порівняння.

Відносний показник виконання плануявляє собою відношення фак­тично досягнутого рівня до планового завдання.

Відносні показники динамікихарактеризують зміну суспільних явищ у часі. Вони визначаються як відношення досліджуваного рівня до рівня, прийнятого за базу порівняння (до попереднього року або до постійної ба­зи порівняння). Відносні показники динаміки виражаються у вигляді ко­ефіцієнтів (темпів) зростання, абсолютних і відносних приростів. Більш докладно цей вид відносних показників розглядається в розділі 10, який присвячений статистичній обробці і аналізу динамічних рядів.

Відносні показники динаміки, планового завдання і виконання плану пов'язані між собою такою рівністю: відносний показник динаміки дорів­нює добутку відносних показників планового завдання і виконання плану. Розглянемо цей взаємозв'язок на такому прикладі.

Відносні показники інтенсивностіхарактеризують відношення різ­нойменних, але пов'язаних між собою певною залежністю величин.

Відносний показник = Відносний показник планового • Відносний показник
динаміки завдання виконаного плану

Розраховуються відносні показники інтенсивності діленням абсолют­ної величини досліджуваного явища на абсолютну величину, яка характе­ризує обсяг середовища, в якому здійснюється розвиток і розповсюдження явища. Відносна величина показує, скільки одиниць однієї сукупності при­падає на одиницю другої сукупності. Прикладом відносних величин інтен­сивності можуть бути щільність населення на 1 км2, вихід валової продукції на 100 га ріллі, одну гривню основних виробничих фондів, середньорічного працівника, поголів'я корів на 100 га сільськогосподарських угідь та ін. По­казники такого роду часто називають якісними, оскільки вони відображають найважливіші якісні сторони виробництва: рівень інтенсифікації, озброє­ність праці, продуктивність землі і тварин, окупність витрат і т.п.

Відносні показники координаціїхарактеризують співвідношення різ­них структурних одиниць однієї і тієї ж сукупності (наприклад, співвідно­шення між чисельністю міського і сільського населення, чоловіків і жінок, робітників і службовців, основними і оборотними фондами, силовими і робочими машинами і т.д.). Відносні показники координації найчастіше виражаються числом одиниць однієї частини на 100 або 1000 одиниць дру­гої частини.

Відносні показники диференціації одержують в результаті зіставлення господарствах за звітний період, продуктивності свиней в господарствах двох областей за п'ять років тощо).

Однією з важливих умов правильного обчислення, порівняння і аналізу відносних показників є забезпечення порівнянності даних. Це означає, що взяті для розрахунків, порівнянь та аналізу абсолютні і відносні показники повинні: 1) відноситись до одного й того самого кола об'єктів і одиниць спостереження або тієї самої сукупності; 2) визначатися за єдиною методи­кою, що забезпечує порівняння їх за змістом; 3) відноситись до однієї тери­торії; 4) характеризувати дані за той самий період або момент часу; 5) мати однакові одиниці вимірювання.

Відносні показники можуть бути простими і складеними. При статис­тичному аналізі складені відносні показники,які являють собою рівнодійну кількох простих показників, доцільно розкласти на ряд простих відносних показників, що мають самостійне значення.

Таке розкладання дає можливість вивчити залежність складеного від­носного показника від його факторів. Сам взаємозв'язок при цьому має вигляд певного рівняння. Найчастіше прийом розкладання складених по­казників застосовують при вивченні виходу продукції на одиницю ресурсів виробництва (землі, основних фондів, робочої сили), виробітку на машину і працівника, витрат на одиницю площі або голову тварин. Схеми розкла­дання показників можуть змінюватися залежно від характеру інформації та завдань аналізу.

 

3. Поняття про середні величини

Статистична сукупність складається з множини одиниць, об'єктів або явищ однорідних в деякому відношенні і одночасно відмінних за величи­ною ознак. Величина ознаки кожного об'єкта визначається як загальними для всіх одиниць сукупності, так і індивідуальними її особливостями.

Аналізуючи впорядковані ряди розподілу (ранжировані, інтервальні та ін.), можна помітити, що елементи статистичної сукупності явно кон­центруються навколо деяких центральних значень. Така концентрація ок­ремих значень ознаки навколо деяких центральних значень, як плавило, має місце у всіх статистичних розподілах. Тенденцію окремих значень дослі­джуваної ознаки групуватися навколо центра розподілу частот називають центральною тенденцією.Для характеристики центральної тендеції розпо­ділу застосовуються узагальнюючі показники, які отримали назву середніх величин.

Середньою величиноюу статистиці називають узагальнюючий показ­ник, який характеризує типовий розмір ознаки в якісно однорідній сукуп­ності. Обчислюється середня величина у більшості випадків шляхом ділення загального обсягу ознаки на число одиниць, що володіють цією ознакою. Якщо, наприклад, відомий фонд місячної заробітної плати і кількість ро­бітників за місяць, то середню місячну заробітну плату можна визначити шляхом ділення фонду заробітної плати на кількість робітників.

Середні величини, які обчислюються як з абсолютних, так і з відносних величин, є показниками іменованими і виражаються в тих самих одиницях вимірювання, що і усереднювана ознака. Вони характеризують одним чис­лом значення досліджуваної сукупності. В середніх величинах знаходить ві­дображення об'єктивний і типовий рівень соціально-економічних явищ і процесів.

У статистичній науці і практиці середні величини мають виключно велике значення. Метод середніх величин є одним з найважливіших стати­стичних методів, а середня величина - однією з основних категорій статис­тичної науки. Теорія середніх величин займає одне з центральних місць в теорії статистики. Середні величини є основою для розрахунку показників варіації, помилок вибірки, дисперсійного і кореляційного аналізу.

В усіх випадках, коли виникає потреба охарактеризувати одним числом сукупність значень ознаки, що змінюється, користуються його середнім значенням.

В статистичній сукупності значення ознаки змінюється від об'єкта до об'єкта, тобто варіює. Усереднюючи ці значення і надаючи урівняне значен­ня ознаки кожному члену сукупності, ми абстрагуємось від індивідуальних значень ознаки, тим самим мовби замінюємо ряд розподілу значень ознаки одним і тим самим значенням, рівним середній величині. Однак така абст­ракція правомірна лише в тому випадку, якщо усереднення не змінює ос­новної властивості по відношенню до даної ознаки в цілому. Ця основна властивість статистичної сукупності, пов'язана з окремими значеннями оз­наки, і яка при усередненні має бути збережена незмінною, називається визначальною властивістю середньоїпо відношенню до досліджуваної ознаки. Інакше кажучи, середня, замінюючи індивідуальні значення озна­ки, не повинна змінювати загального обсягу явища, тобто обов'язкова така рівність: обсяг явища дорівнює добутку середньої величини на чисельність сукупності

Головне значення середніх величин полягає в їх узагальнюючій функ­ції, тобто заміні множини різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, яка характеризує всю сукупність явищ. Властивість середньої характеризувати не окремі одиниці, а виразити рівень ознаки з розрахунку на кожну одиницю сукупності є її відмінною спроможністю. Ця особли­вість робить середню узагальнюючим показником рівня варіюючої ознаки, тобто показником, який абстрагується від індивідуальних значень розміру ознаки у окремих одиниць сукупності. Але те, що середня є абстрактною, не позбавляє її наукового дослідження. Абстракція є необхідним ступенем уся­кого наукового дослідження. В середній величині, як у будь-якій абстракції, здійснюється діалектична єдність індивідуального і загального. Взаємозв'язок середніх і окремих значень усереднюваної ознаки служить вираженням діалектичного зв'язку індивідуального і загального.

Застосування середніх має базуватися на розумінні та взаємозв'язку діа­лектичних категорій загального і індивідуального, масового і одиничного.

Середня величина відображає те загальне, що складається в кожному окремому, одиничному об'єкті. Завдяки цьому середня отримує велике зна­чення для виявлення закономірностей, притаманних масовим суспільним явищам і не помітних в одиничних явищах.

У розвитку явищ необхідність поєднується з випадковістю. Тому середні величини повя'зані із законом великих чисел. Суть цього зв'язку полягає в тому, що при розрахунку середньої величини випадкові коливан­ня, що мають різну спрямованість, через дію закону великих чисел взаємно урівноважуються, погашаються і у величині середньої чітко відобража­ється основна закономірність, необхідність, вплив загальних умов, харак­терних для даної сукупності. В середній знаходить відображення типовий, реальний рівень досліджуваних явищ. Оцінка цих рівнів і зміна їх в часі і просторі - одне з головних завдань середніх величин. Так, через середні ви­являється, наприклад, закономірність підвищення продуктивності праці, урожайності сільськогосподарських культур, продуктивності тварин. Отже, середні величини являють собою узагальнюючі показники, в яких знахо­дить своє відображення дія загальних умов, закономірність досліджуваного явища.

За допомогою середніх величин вивчають зміну явищ у часі і просторі, тенденції в їх розвитку, зв'язки і залежності між ознаками, ефективність різних форм організації виробництва, праці і технологій, впровадження науково-технічного прогресу, виявлення нового, прогресивного в розвитку тих чи інших соціально-економічних явищ і процесів.

Середні величини широко застосовуються в статистичному аналізі сільськогосподарського виробництва, оскільки саме в них знаходять своє виявлення закономірності і тенденції розвитку масових суспільних явищ, варіюючих як у часі, так і у просторі. Так, наприклад, закономірність підви­щення продуктивності праці в сільському господарстві знаходить своє ві­дображення в зростанні середнього виробництва продукції з розрахунку на одного працівника, зайнятого в сільськогосподарському виробництві, збіль­шення валових зборів - у зростанні середньої урожайності сільськогоспо­дарських культур тощо.

Середня величина дає узагальнену характеристику досліджуваного явища тільки за однією ознакою, яка відображає одну з найважливіших його сторін. У зв'язку з цим для всебічного аналізу досліджуваного явища необхідно будувати систему середніх величин за рядом взаємопов'язаних і доповнюючих один одного суттєвих ознак.

Для того щоб середня відображала дійсно типове і закономірне в дослі­джуваних суспільних явищах, при її розрахунку необхідно дотримуватись таких умов.

1.Ознака, за якою обчислюється середня, має бути істотною. В против­ному випадку буде отримана несуттєва або спотворена середня.

2.Середню потрібно обчислювати тільки за якісно однорідною сукуп­ністю. Тому безпосередньому обчисленню середніх має передувати статис­тичне групування, яке дає змогу розчленувати досліджувану сукупність на
якісно однорідні групи. У зв'язку з цим науковою основою методу середніх
величин є метод статистичних групувань.

3.Розрахунок середньої величини має базуватися на охопленні всіх оди­
ниць даного типу або досить великої сукупності об'єктів, щоб випадкові
коливання взаємно зрівноважували один одного і проявлялася закономір­ність, типові і характерні розміри досліджуваної ознаки.

4.Загальною вимогою при розрахунку будь-якого виду середніх вели­
чин є обов'язкове збереження незмінним загального обсягу ознаки в сукуп­ності при заміні індивідуальних її значень середнім значенням (так звана
визначальна властивість середньої).

 

4. Види середніх величин і способи їх обчислення

Залежно від характеру усереднюваної ознаки і наявної вихідної інфор­мації в статистиці застосовуються різні види середніх величин, серед яких найбільше використовуються такі: середня арифметична, середня гармоніч­на, середня геометрична і середня квадратична.

Поряд з переліченими видами середніх величин в статистичній прак­тиці знаходять застосування також середня хронологічна, середня ковзна, середня прогресивна, середня багатовимірна і так звані структурні середні: мода, медіана та ін.

Кожну середню можна визначити як просту, коли значення варіант спостерігаються тільки один раз або однакову кількість разів, і як зважену, коли значення варіант повторюється різну кількість разів.

Уведемо такі позначення і поняття середніх:

- середнє значення досліджуваної ознаки;

х - окремі значення усереднюваної ознаки (варіанти);

п - число одиниць досліджуваної сукупності;

f- частота повторень (вага) варіант;

W=x f - обсяг явищ.

Ознаку, за якою знаходять середню, називають усередненою ознакою.Величину ознаки кожної одиниці сукупності називають варіантою,або значенням досліджуваної ознаки.Частоту повторень варіантів у сукуп­ності називають статистичною вагою.

Середні величини, що застосовуються в статистиці, належать до за­гального типу степеневих середніх. Відрізняються вони тільки показником степеня. Математична статистика виводить різні середні з формули степе­невої середньої, яка являє собою корінь k-го степеня з частки від ділення суми індивідуальних значень ознаки k-го степеня на число індивідуальних значень:

проста зважена

де k - показник степеня, який визначає тип середньої. Підставляючи у наве­дену формулу замість kвідповідні значення показника степеня, одержимо такі середні:

проста зважена

при k=1 – арифметичну

;

при k= -1 – гармонічну

;

при k=0 – геометричну

при k=2 – квадратичну

; .

Вибір того чи іншого виду середньої визначається цілями і завдання­ми дослідження і наявноюінформацією.

Загальною умовою правильного обчислення усіх видів середніх є збе­реження незмінним загального обсягу варіюючої ознаки при заміні інди­відуальних значень ознаками їхньої середньої. Так, середня арифметична застосовується тоді, коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як сума окремих варіант; середня гармонічна - коли обсяг варіюючої ознаки утво­рюється як сума обернених значень окремих варіант; середня геометрична -коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як добуток окремих варіант; середня квадратична - коли обсяг варіюючої ознаки утворюється як сума квадратів окремих варіант.

Розглянемо перелічені вище види середніх більш докладно.

Середня арифметична.Середня арифметична - найпоширеніший вид середньої. Середня арифметична проста являє собою частку від ділення суми індивідуальних значень ознаки на їх загальне число.

Середня арифметична простазастосовується в тих випадках, коли відомі дані про окремі значення ознаки та їх число в сукупності. В статис­тичній практиці вона застосовується, як правило, для розрахунку середніх рівнів ознак, представлених у вигляді абсолютних показників. Наприклад, якщо є дані про посівну площу овочів у трьох бригадах господарства (га): 47; 65; 38 і необхідно визначити середній розмір посівної площі, то розраху­нок середньої величини необхідно здійснювати за формулою середньої ариф­метичної простої, оскільки значення усереднюваної ознаки зустрічаються однакове число раз (по одному разу).

Середня арифметична зваженаобчислюється із значень варіюючої ознаки з урахуванням ваг. її застосовують у тих випадках, коли значення ознаки представлені у вигляді варіаційного ряду розподілу, в якому чисель­ність одиниць по варіантах не однакова, а також при розрахунку середньої із середніх при різному обсязі сукупності. Зважування в даному випадку здійснюється за частотами, які показують, скільки разів повторюється та або інша варіанта.

Отже, при обчисленні середньої арифметичної зваженої необхідно всі значення варіант помножити на їхню частоту, одержані добутки підсумува­ти і цю суму розділити на суму частот, тобто загальний обсяг сукупності.

За аналогічною формулою визначається загальна середня ( ) з гру­пових середніх ( ), якщо чисельність одиниць по групах (fгр) неоднакова:

Розглядаючи формулу середньої арифметичної зваженої, можна помітити, що вона не має принципової відміни від простої середньої арифметич­ної. Тут підсумовування f разів одного і того самого варіанта (х) замінюють множенням його на число повторень (частоту -f).

При розрахунку середньої арифметичної зваженої частотами (вагами) можуть бути використані відносні показники структури, виражені в процен­тах або коефіцієнтах (частках). Методика розрахунку середньої і кінцевий результат при цьому не зміняться.

Якщо частоти виражені в процентах, то формула середньої арифме­тичної зваженої може бути записана в такому виді:

де 100 - питома вага кожної частини в загальному обсязі всіх частот (в процентах).

Оскільки для всієї сукупності , то формулу можна записати так:

Для інтервальних варіаційних рядів розподілу, в яких значення ознаки дано в межах «від - до», середню арифметичну зважену знаходять в такій послідовності. Спочатку необхідно інтервальний ряд розподілу перетвори­ти в дискретний. Для цього по кожному інтервалу знаходять його середину (центр). Серединне значення інтервалу звичайно визначають як півсуму йо­го нижньої і верхньої меж. Наприклад, для інтервального ряду розподілу гос­подарств за надоєм молока на корову (ц): 26-28,28-30,30-32 і т.д. серединами інтервалів будуть (ц): 27 = (26 + 28): 2; 29 = (28 + 30): 2; 31 = (30 + 32): 2 і т.д. Якщо є інтервали з нечітко вираженими межами, з так званими «відкри­тими межами» (перший інтервал «до» і останній - «понад»), то для визна­чення серединного значення потрібно встановити умовні межі цих інтерва­лів. Звичайно в цих випадках вирішують так: для першого інтервалу беруть величину другого інтервалу, а для останього - величину передостанього інтервалу.

Після того як знайдені середини інтервалів, середню арифметичну зва­жену обчислюють так, як і в дискретному ряду розподілу: значення варіант множать на частоти і одержану суму добутків ділять на суму частот.

Середня гармонічна.Середня гармонічна є оберненою до середньої арифметичної, обчисленої з обернених значень усереднюваної ознаки. За­лежно від характеру наявного матеріалу її застосовують тоді, коли ваги доводиться не множити, а ділити на варіанти, або, що те ж саме, множити на обернене їх значення. Таким чином, середня гармонічна розраховується, коли відомі дані про обсяг ознаки (W = хf) та індивідуальні значення озна­ки (х) і невідомі ваги (f). Так як обсяги ознак являють собою добуток зна­чень ознаки (х) на частоту (f), то частоту (f) визначають як f= W:х.

Як видно, середня гармонічна є перетвореною формою середньої арифметичної. Замість гармонічної завжди можна розрахувати середню арифметичну, попередньо визначивши ваги окремих значень ознаки. При обчисленні середньої гармонічної вагами є обсяги ознак.

Середня гармонічна проста застосовується у випадках, коли обсяги явищ по кожній ознаці рівні.

Відповідно до однієї з властивостей середня гармонічна не зміниться, якщо обсяги явищ, які є вагами окремих варіант, помножити або розділити на яке-небудь довільне число. Це дає змогу при її обчисленні користуватися не абсолютними показниками, а їх питомими вагами.

Середню гармонічну застосовують також для визначення середньої урожайності по групі однорідних культур, якщо відомі валовий збір і уро­жайність окремих культур, для обчислення середнього процента виконання плану виробництва і реалізації продукції по однорідній сукупності, якщо відомі дані про фактично вироблену або реалізовану продукцію і процент виконання плану по окремих об'єктах і т.д.

Середня геометрична.Середню геометричну застосовують тоді, коли загальний обсяг явища є не сума, а добуток значень ознаки. Ця середня застосовується здебільшого для розрахунку середніх коефіцієнтів (темпів) зростання і приросту при вивченні динаміки явищ. І має такий вигляд:

,

де n – число коефіцієнтів зростання; y1 та yп – початковий і кінцевий рівні динамічного ряду.

Величина середньої геометричної залежить тільки від співвідношення кінцевого і початкового рівнів. Якщо не змінюються в цих межах інші рівні, величина середньої не зміниться.

Середня квадратична.Середня квадратична використовується пере­важно для розрахунку показників варіації (коливання) ознаки - дисперсії і середнього квадратичного відхилення, які обчислюються на основі квад­ратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їхньої середньої арифме­тичної. Крім того, вона застосовується для узагальнення ознак, виражених лінійними мірами яких-небудь площ (при обчисленні середніх діаметрів стовбурів дерев, кошиків, листків, клубнів тощо).

Досліджуючи статистичну сукупність, можна виявити, що поряд з оз­наками, які притаманні усім одиницям досліджуваного явища, є й такі оз­наки, якими одні одиниці володіють, а інші ні. Такими ознаками, наприк­лад, будуть наявність в партії продукції бракованої продукції, рослини уражені хворобами та ін. Такі виключаючі одна одну ознаки називають аль­тернативними.При альтернативній варіації, коли є лише два виключаючих один одного випадки, наявність ознаки у одиниці сукупності прийнято по­значати 1, а її відсутність - 0. Частку одиниць, що володіють досліджуваною ознакою, позначають р, а долю одиниць, не володіючих цією ознакою, - q. Очевидно, що р + q=1,а q=1-р.

Середнє значення альтернативної ознаки, обчислене за формулою се­редньої арифметичної, буде дорівнювати:

Отже, середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці оди­ниць сукупності, що володіють даною ознакою.

Якщо обчислити різні типи середніх величин, одержаних із степеневої середньої для одного і того самого варіаційного ряду, то їх чисельні значен­ня будуть відрізнятися один від одного, а самі середні розташуються таким чином:

Хгарм <Хгеом <Хар <Хквадр,

тобто найбільшою буде середня квадратична, а найменшою - середня гар­монічна. Порядок зростання середніх визначається значенням степеня к в степеневій середній.

Ця властивість степеневих середніх одержала назву властивості мажорантності середніх.

Інші види середніх величин.Крім розглянутих вище видів середніх величин, статистикою розроблено й інші види.

Середня хронологічнаявляє собою середню величину з показників, що змінюються у часі. Вона розраховується із рівнів моментного або інтервального рядів динаміки за принципом середньої арифметичної прос­тої і зваженої.

Для інтервального ряду динаміки середня хронологічна проста обчис­люється за формулою:

де у - рівень ряду динаміки, п - число рівнів у ряду динаміки.

Для моментного ряду динаміки (при рівній відстані періодів, наприк­лад, місяць, квартал і т.д.) середня хронологічна проста обчислюється за формулою:

Середня хронологічна зважена має вигляд , якщо відомий час, протягом якого зберігалось кожне значення у. Тут t - період часу, який відокремлює один рівень від іншого.

Для виявлення тенденції зміни досліджуваного явища у часі розрахо­вують середню ковзну.Суть способу її розрахунку полягає в тому, що склад періоду безперервно і постійно змінюється - відбувається зсув на одну дату при збереженні постійного інтервалу (триріччя, п'ятиріччя і т.д.).

В аналізі і плануванні сільськогосподарського виробництва застосо­вується також середня прогресивна.Цей вид середньої на відміну від за­гальної середньої дає узагальнену характеристику не всієї сукупності, а тільки тієї її частини, яка представлена показниками, вищими за загальну середню.

Середню прогресивну обчислюють у такій послідовності: 1) з усіх варіант обчислюють загальну середню; 2) відбираються варіанти, що за величиною перевищують загальну середню; 3) за відібраними варіантами обчислюють середню. Вона й буде середньою прогресивною.

Особливим видом середніх величин є середня багатовимірна,яка яв­ляє собою середню величину кількох ознак для однієї одиниці сукупності. Оскільки неможливо розрахувати середню величину за абсолютними зна­ченнями різних ознак (різноякісних, виражених у різних одиницях виміру), то багатовимірна середня визначається з відносних величин (часток, про­центів і т.п.), як правило, з відношень абсолютних значень для одиниці сукупності до середніх значень цих ознак.

Середня багатовимірна - похідна величина, що розраховується для статистичної сукупності чисельністю N одиниць з порядковими номерами і (і = 1,2,3,..., N), які володіють k ознаками (х) з порядковими номерами j (j =1, 2, 3,..., k) у такий спосіб. Спочатку обчислюють відношення Рij значень кожної ознаки {х) у кожної величини сукупності до її середнього значення за формулою

де xij – значення j-ої одиниці сукупності; - її середнє значення.

Після цього визначають середню з цих відношень для кожної одиниці сукупності (), яку і називають багатовимірною середньою:

.

Багатовимірні середні дають узагальнену характеристику кожної оди­ниці сукупності за кількома ознаками одночасно. При цьому значущість ознаки для багатовимірної оцінки одиниці сукупності вважається однако­вою, що економічно, звісно, неточно.

Середню багатовимірну використовують для аналізу господарської діяльності підприємств, зокрема при визначенні ефективності використання виробничого потенціалу (землі, трудових ресурсів, виробничих фондів) та ін..

5. Властивості середньої арифметичної. Розрахунок середньої арифметичної способом моментів

Середня арифметична має ряд математичних властивостей, які можна використати, щоб спростити її розрахунки. Основні властивості середньої арифметичної такі.

1. Середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній:

= А при А = соnst.

2. Сума квадратів відхилень від середньої арифметичної завжди менша,
ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої величини:

3. Величина середньої не зміниться, якщо частоти ряду розподілу замі­нити частостями.

4.Сума відхилень окремих значень ознаки від середньої, перемноже­них на ваги (частоти), дорівнює нулю:

- для простої середньої;

- для зваженої середньої.


5. Якщо усі значення ознак збільшити або зменшити у ту саму кіль­кість разів (h), то середня ( ) збільшиться або зменшиться у стільки ж
разів:

тобто середня зменшилася в (h) разів.

6. Якщо з усіх значень варіант (х) відняти або додати до них ту саму по­стійну величину (x0), то середня ( ) зменшиться або збільшиться на таку саму величину (x0):

тобто значення середньої зменшилося на постійне число х0.

7. Якщо частоти (ваги) плділити або помножити на будь-яке постійне число (k), то середня не зміниться:

тобто значення середньої не змінилося.

8. Добуток середньої на суму частот дорівнює сумі добутків варіант на частоти:

Ця рівність випливає з визначальної властивості середньої арифме­тичної, згідно з якою, зрівнюючи варіанти, надаючи їм однакові значення шляхом заміни їх середнім значенням, незмінним залишається загальний

обсяг ознаки.

9. Загальна середня дорівнює середній із часткових середніх, зважених за чисельністю відповідних частин (груп) сукупності:

Викладені вище властивості середньої арифметичної дають змогу спростити її розрахунки: можна з усіх значень ознаки відняти довільну по­стійну величину, одержану різницю поділити на величину інтервалу, а потім

обчислену середню помножити на величину інтервалу і додати довільну постійну величину, що прийнята за початок відліку.

Формула обчислення середньої арифметичної спрощеним способом має такий вигляд:

де — зменшена середня арифметична

- відхилення в інтервалах;

х0 - початок відліку; h – величина інтервалу.

Середня із значенням називається моментом першого по­рядку, а спосіб обчислення середньої - способом моментів,або способом відліку від умовного початку.

За умовний початок відліку (х0) звичайно приймають одне із значень варіюючої ознаки, яке, як правило, знаходиться в центрі ряду розподілу або таке, що має найбільшу частоту.