Примеры применения многочленов Чебышева
Итерационные методы решения СЛАУ
Многочлены Чебышева
Свойства многочленов Чебышева
В ряде вопросов численного анализа, связанных с проблемой минимизации погрешности вычислительного алгоритма, нашли применение многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля.
Рассмотрим следующую задачу: среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1 найти такой многочлен
, для которого величина
является минимальной. Многочлен, обладающий этим свойством, называется многочленом наименее уклоняющимся от нуля на отрезке или многочленом Чебышева. Покажем, что функция
(6.42)
является многочленом Чебышева.
Рассмотрим сначала функцию
. (6.43)
Проводя преобразования
,
убеждаемся в том, что справедливо рекуррентное соотношение
. (6.44)
Кроме того, согласно (6.43) имеем ,
. Отсюда и из (6.44) легко доказать, что
многочлен степени
со старшим коэффициентом
,
Следовательно,
многочлен степени
со старшим коэффициентом 1.
Корни многочлена расположены в точках
,
, (6.45)
а экстремумы – в точках
,
, (6.46)
причем
,
.
Следовательно,
. (6.47)
Можно доказать (доказательство опускаем), что среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом 1 многочлен
наименее уклоняется от нуля на отрезке
.
Иногда требуется найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке , среди всех многочленов степени
со старшим коэффициентом 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены
.
Переводящий отрезок в отрезок
. При такой замене многочлен Чебышева
преобразуется к виду
,
причем коэффициент при оказывается равным
. Следовательно, многочленом, наименее уклоняющемся от нуля на
, среди всех многочленов степени
со старшим коэффициентом 1 является многочлен
. (6.48)
Корни этого многочлена расположены в точках
,
, (6.48’)
а его максимальное отклонение от нуля равно (доказать)
. (6.49)
В теории итерационных методов возникает следующая задача: найти многочлен степени
, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке
, среди всех многочленов степени
, принимающих при
значение 1. Ясно, что искомый многочлен отличается от многочлена (6.48) только нормировкой, т.е.
. (6.50)
Будем считать в дальнейшем, что .
Из (6.48), (6.50) получим при , что
, (6.51)
где
. (6.52)
Обозначая ,
и проводя необходимые преобразования, получаем (доказать)
. (6.53)
Таким образом, приходим к следующему выводу: среди всех многочленов степени , принимающих при
, значение 1, наименее уклоняется от нуля на отрезке
многочлен
, (6.54)
где
.
.
. (6.55)
Корни многочлена (6.54) расположены в точках
,
. (6.56)
Примеры применения многочленов Чебышева
Пример 1. В теории интерполирования возникает следующая задача. Рассмотрим многочлен
степени . Требуется так подобрать числа
(среди которых нет совпадающих чисел), принадлежащие заданному отрезку
, чтобы минимизировать величину
.
Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, для решения данной задачи достаточно потребовать, чтобы
совпал с многочленом Чебышева (см. (6.48))
. (6.57)
Условие будет выполнено тогда и только тогда, когда совпадут все корни многочленов
и
. Корнями многочлена
являются числа
, а корни
определяются, согласно (6.48’) формулами
,
. (6.58)
Таким образом, если задать точки по правилу
,
, (6.59)
то величина отклонения многочлена от нуля окажется минимальной и равной
.
Пример 2. При построении оптимальных итерационных параметров рассматривается следующая задача. Для многочлена
(6.60)
подобрать параметры ,
, так, чтобы минимизировать величину
.
Многочлен (6.60) удовлетворяет условию , поэтому данная задача решается с помощью многочлена Чебышева (6.54). Корни многочлена (6.60)
,
.
Должны совпадать с корнями многочлена
, (6.61)
где
.
.
. (6.62)
Согласно (6.56) корни многочлена (6.61) расположены в точках
,
. (6.63)
Следовательно, если выбрать
,
, (6.64)
то отклонение от нуля окажется минимальным и равным
.