![]() |
![]() |
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Примеры итерационных методовРешение нелинейных уравнений и систем уравнений
Итерационные методы для систем нелинейных уравнений Примеры итерационных методов Пример 1. Метод релаксации представляет собой частный случай метода (4.29):
когда
где Метод сходится, если
Пример 2. Метод Ньютона для системы уравнений (4.27)
...
строится следующим образом. Пусть приближение и отбросим величины второго порядка малости. Тогда система (4.27) заменится системой уравнений
линейной относительно приращений
Таким образом, итерационный метод Ньютона для (4.27) определяется системой уравнений
из которой последовательно, начиная с заданного Систему (4.33) можно записать в векторном виде
где матрица
где
Для реализации метода Ньютона необходимо существование матриц Приведем без доказательства теорему о сходимости метода Ньютона. Пусть и предположим, что в шаре Теорема 2. Предположим, что в для любых
Если начальное приближение
причем
то система уравнений (4.28) имеет решение
Без доказательства. Пример 3. Модифицированный метод Ньютона имеет вид
и обладает линейной сходимостью. Упрощение в численной реализации по сравнению с обычным методом Ньютона состоит в том, что матрицу Пример 4. Метод Ньютона с параметром имеет вид
Рассмотренные до сих пор методы являлись линейными относительно новой итерации Пример 5. Нелинейный метод Якоби для системы (4.27) имеет вид (расписать, дом. зад. №5)
Здесь для отыскания Пример 6. Нелинейный метод Зейделя состоит в последовательном решении уравнений (расписать, дом. зад. №5)
относительно переменной Большое распространение получили гибридные методы, когда внешние итерации (решается система уравнений и определяется Приведем пример гибридного метода. Пример 7. Внешние итерации – по Зейделю, а внутренние по Ньютону. Здесь в качестве основной (внешней) итерации выбирается нелинейный метод Зейделя (4.38), а для нахождения
Здесь индексом Иногда в (4.39) делают всего одну внутреннюю итерацию, полагая
В частности, при
|