Основное уравнение гидростатики для тяжелой несжимаемой жидкости

Дифференциальное уравнение равновесия Эйлера (Основное уравнение гидростатики).

Основное уравнение гидростатики устанавливает зависимость давления от действующих в жидкости массовых сил.

Для вывода данного уравнения рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами , выделенного внутри покоящейся жидкости.

Напомним, что в покоящейся жидкости действуют только нормальные напряжения, касательные же отсутствуют.

Пусть на единицу массы параллелепипеда действует сила ( - единичная массовая сила или напряжение массовых сил) с ее составляющими .

Если на три грани, пересекающиеся в точке 0 действует напряжение Р, то на противоположных гранях напряжения будут приближенно равны

;

Тогда уравнение равновесия сил в проекциях на оси х, будут иметь вид

После несложных преобразований получим

(2.1)

Аналогично условия равновесия относительно осей у и z запишутся

(2.2)

(2.3)

Система уравнений (2.1) – (2.3) представляет собой систему дифференциальных уравнений Эйлера, которые выражают баланс единичных массовых и поверхностных сил.

Можно домножить уравнения (2.1) – (2.3) соответственно на , сложить их почленно и получить еще одну форму выражения уравнения равновесия

Принимая во внимание, что

то есть данное выражение есть полный дифференциал, получим

Поверхности равного давления (Р = const) называюся поверхностями уровня.

Вдоль поверхностей уровня dP = 0, откуда следует, что они удовлетворяют следующему уравнению

Т.е. все поверхности уровня нормальны к равнодействующей массовых сил.

- элемент поверхности уровня. В частности, поверхностью уровня есть свободная поверхность жидкости.

Закон Паскаля

Уравнение Эйлера можно записать в виде

Если внешние массовые силы отсутствуют , то

Данные уравнения справедливы для любой точки в жидкости и при любой ориентации системы координат. Из этого уравнения следует, что в условиях отсутствия массовых сил во всех точках в газе и жидкости давление одинаково Р = const. Этот вывод носит название закона Паскаля, который был открыт в 1663 г.

Давление на поверхности жидкости, произведенное внешними силами передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Данный закон имеет и другие формулировки. Например, формулировка закона Паскаля.

Данный закон может трактоваться, как закон изотропии нормальных напряжений в точках жидкости, находящейся в равновесии.

Основное уравнение гидростатики для тяжелой несжимаемой жидкости

Рассмотрим равновесие жидкости при наличии только сил тяжести и при отсутствии других каких-либо массовых сил.

В этом случае F_X = F_Y = 0, F_Z = -g

, можно записать

, поскольку dP - полный дифференциал.

Давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания равной единице.

- это есть основное уравнение гидростатики для тяжелой несжимаемой жидкости.