Эквивалентность формул и тождества
Таблица 9
x | y | Øх | Øу | ![]() | ![]() |
Рассмотрим формулы: и
. Их таблицы истинности представлены таблице 12.
Как видно из таблицы 12, на одинаковых наборах значений переменных обе формулы принимают одинаковые истинностные значения, т.е. реализуют одну и ту же истинностную функцию.
Две формулы А и В называются эквивалентными, если функции fA и fB, соответствующие им, эквивалентны или равны, т.е. fA=fB. Для обозначения эквивалентных формул традиционно используется запись А=В, которую называют тождеством.
Следующие тождества характеризуют важнейшие свойства элементарных функций: {0, 1, Ø, &, Ú}. (Обозначим «» любую из функций: {&, Ú, Å}.)
((xy)z)=(x(yz)) – свойство ассоциативности;
(xy)=(yх) – коммутативность;
конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны друг относительно друга: ((x Ú y) & z) = ((x & z) Ú (y & z))
((x & y) Ú z) = ((x Ú z) & (y Ú z));
– закон двойного отрицания;
– законы Де Моргана для конъюнкции и дизъюнкции;
(х & х) = x; (x Ú x) = x – законы идемпотентности;
– закон исключенного третьего;
– закон противоречия;
(х & 0) = 0, (x Ú 0) = x – умножение на ноль и сложение с нулем;
(х & 1) = х, (x Ú 1) = 1 – умножение на единицу и сложение с единицей;
((х & y) Ú x) = x, ((х Ú y) & x) = x – законы поглощения.
Все тождества легко проверяются с помощью таблиц истинности.
Упрощение формул
Введем некоторые соглашения о записи и вычислениях формул.
В формулах будем опускать внешнюю пару скобок, т.е. вместо формулы (х®у) будем писать выражение х®у. Аналогично в выражениях со знаком отрицания вместо будем записывать
.
По закону ассоциативности для операции «» вместо формулы ((x y) z) или (x(y z)) можно использовать выражение без скобок: x y z. Для восстановления формулы достаточно расставить скобки, порядок которых не является существенным для вычислений.
Введем также соглашения о старшинстве операций: если в выражении с помощью скобок специально не указан порядок выполнения операций, то одинаковые по старшинству операции выполняются последовательно слева направо. Если в выражении имеются различные операции, то сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д., самой последней выполняется эквиваленция. Скобки восстанавливаются по тому же правилу, например, в выражении хÚØу®zºt скобки восстанавливаются в следующем порядке:
хÚ(Øу)®zºt
(хÚ(Øу))®zºt
((хÚ(Øу))®z)ºt
(((хÚ(Øу))®z)ºt)
Ввиду введенного старшинства операций не всякая формула может быть записана без скобок. Например, в выражениях х®(у®z) или х&(yÚz) дальнейшее исключение скобок невозможно, т.к. это может повлиять на значение, вычисленное по формуле.
В дальнейшем для компактности будем использовать следующую запись вместо х1&x2&…&xs, а также
вместо х1Úx2Ú…Úxs.
Из свойств элементарных функций следует ряд простых правил преобразования формул:
а) если один из сомножителей логического произведения равен нулю, то значение произведения также равно нулю;
б) если логическое произведение содержит не менее двух сомножителей, один из которых равен единице, то этот сомножитель можно сократить;
в) если логическая сумма содержит не менее двух слагаемых, одно из которых принимает значение ноль, то его можно сократить;
г) если хотя бы одно из слагаемых логической суммы принимает значение единица, то и вся логическая сумма равна единице;
д) пусть U1 – подформула формулы U; если в формуле U заменить любые вхождения подформулы U1 эквивалентной ей формулой В1, то в результате будет получена формула В, эквивалентная исходной формуле U.
Перечисленные свойства и правила позволяют преобразовывать формулы, получая новые тождества.
Рассмотрим эквивалентные преобразования формулы: 1=
2=
3=
4=
5=
Тождество 1 записано по правилу сокращения единичного сомножителя, тождество 2 – по правилу замены подформулы эквивалентной формулой, а именно: здесь для замены использовался закон исключенного третьего. В тождестве 3 применяется закон дистрибутивности. Тождество 4 получено по закону коммутативности. И, наконец, тождество 5 записано по закону поглощения, причем для наглядности «поглощающие элементы» подчеркнуты одинарной и двойной чертой.
Помимо описанных правил эквивалентных преобразований формул имеются также другие способы получения новых тождеств, которые основаны на понятии двойственности.