Исследование робастности полученной ЗС методом В.Л.Харитонова
Задание 2 – Построение МТЧ ДОУ к вариации интервала дискретности
Дан интервал дискретности 
, метод перехода к дискретному векторно-матричному описанию ВСВ описанию объекта управления (ДОУ) – заменой производной отношением конечно малых.
Переход к дискретному описанию ОУ осуществляется по формулам:
откуда при 
имеем:
, 
, 
.
Построим модель траекторной чувствительности к вариации интервала дискретности:
где 
, 
,
, 
.
Получим:
, 
.
Построим агрегированный ОУ:
где 
, 
, 
.
, 
, 
.
В результате была построена ФТЧ дискретного ОУ к вариации интервала дискретности.
Вывод к разделу 1:
Была построена модель траекторной чувствительности непрерывного объекта управления и проранжированы параметры. Было проведено построение модели траекторной чувствительности дискретного объекта управления к вариации интервала дискретности.
Задание 3 – Построение МТЧ спроектированной непрерывной замкнутой системы (ЗС)
Закон управления (ЗУ): 
должен доставлять системе
образованной объединением НОУ и ЗУ, с помощью:
- матрицы 
прямой связи по входу 
равенство входа и выхода 
в неподвижном состоянии при номинальных значениях параметров;
- матрицы 
обратной связи по состоянию 
при номинальных значениях параметров распределение мод Баттерворта с характеристической частотой 
.
Построить МТЧ спроектированной системы по каждому из параметров и для значения 
выделить доминирующие параметры по степени их влияния на величину 
перерегулирования и длительность 
переходного процесса.
Построить матрицу функций модальной чувствительности и выделить неблагоприятное сочетание вариаций параметров.
Имеем:
, 
, 
.
Из требований к проектируемой системе найдем матрицы 
:
, 
,
, 
.
Учитывая, что 
, найдем :
,
,
откуда 
, 
.
Полином Баттерворта при заданной частоте:
отсюда:
Матрица H выбирается из условия полной наблюдаемости пары Г и Н:
Решим задачу медианного МУ с помощью уравнения Сильвестра:
МГ - АМ = - ВН
Посчитаем K: 
Найдем 
:
,
,
.
.
.
Математическая версия закона управления:
,
Реализационная версия имеет вид:
.
Замечание 1.
Последняя версия будет реализуемой только в случае доступности измерению всех переменных состояния. В противном случае необходимо синтезировать наблюдатель с целью получения оценок переменных состояния. В этом случае закон управления примет вид:
,
где 
и 
- оценки переменных состояния 
и 
соответственно.
Найдем 
:
, 
, 
Замечание 2.
При полученном желаемом полиноме 
передаточная функция системы управления примет вид:
.
Переходная функция такой системы представлена на рисунке 3.1
t,c
Рисунок 3.1 – Переходная функция системы управления
Перерегулирование менее 5 %. Требование об обеспечении распределения мод Баттерворта выполнено.
Построение семейства моделей траекторной чувствительности:
где 
, 
,
, 
.
и формирование семейства агрегированных систем:
где 
, 
, 
, 
.
Получим:
, 
, 
, 
.
, 
,
, 
, 
,
, 
.
, 
,
, 
.
, 
, 
, 
.
На рисунке 3.2 представлена структурная схема агрегированной системы: номинального объекта управления и модели траекторной чувствительности к вариации одного из параметров.
Рисунок 3.2 – Структурная схема агрегированной системы
Теперь представим графики переходных функций номинальной системы и параметрически возмущенной (только по одному параметру).
Рисунок 3.3 – Переходные функции системы при 
, 
и 
. Разница между 
и 
=75 %.
Рисунок 3.4 – Переходные функции системы при 
, 
и 
. Разница между и = 77,7%.
Рисунок 3.5 – Переходные функции системы при 
, 
и 
Разница между и = 75%.
Рисунок 3.6 – Переходные функции системы при 
, 
и 
Разница между и = 77,5%.
Анализируя представленные графики переходных функций, параметры по степени влияния на качество процессов следует проранжировать следующим образом: 
.
Следует указать, что вариация параметра 
оказывает наибольшее влияние, как на перерегулирование, так и на время переходного процесса (наибольшие значения среди рассмотренных возмущенных систем).
Задание 4 – Построение матрицы функций модальной чувствительности
Выделение доминирующих параметров:
, .
Из уравнения 
, где 
найдем матрицу 
вещественного вида:
, 
.
Вычислим функции модальной чувствительности 
( 
) с помощью соотношений:
, 
;
, 
;
, 
;
, 
.
Сконструируем матрицу функций модальной чувствительности в виде функций чувствительности вещественной и мнимой частей:
,
где 
По нормам столбцов выделяем доминирующие параметры:
Для выделения неблагоприятного сочетания вариаций параметров воспользуемся сингулярным разложением матрицы модальной чувствительности:
. Используем функцию svd() пакета Matlab.
,
,
.
Зададимся сферой 
с тем, чтобы все вариации параметров ограничить числом 0,5 – пределы применимости теории чувствительности. Введем наиболее неблагоприятное сочетание вариаций параметров, задаваемое вектором:
,
а также наименее неблагоприятное сочетание вариаций параметров, задаваемое вектором:
Задание 5 – Построение закона управления для объекта, заданного интервальными элементами
Дано ВМО ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в форме
получаемое с использованием интервальной арифметики на основе интервальной реализации параметров 
, записываемых в форме
при следующих граничных (угловых) значениях: 
Закон управления (ЗУ): 
должен доставлять системе с интервальными матричными компонентами
образованной объединением НОУ и ЗУ, с помощью:
- матрицы прямой связи по входу 
равенство входа и выхода в неподвижном состоянии при медианных значениях параметров;
- матрицы обратной связи по состоянию при медианных значениях параметров распределение мод Баттерворта с характеристической частотой 
, которая гарантирует достижение оценки относительной интервальности матрицы состояния системы
не больше заданной 
.
Методом модального управления, базовый алгоритм которого, опирающийся на решение матричного уравнения Сильвестра и примененный к медианным составляющим интервальных матричных компонентов ВМО ВСВ НОУ, дополняется контролем нормы 
медианной составляющей интервальной матрицы 
спроектированной системы с последующим вычислением оценки 
, вычислить матрицы и .
Формирование ВМО ВСВ интервального ОУ:
, 
, 
.
Для упрощения задачи, добьемся того, чтобы интервальной была бы только матрица состояния. Сделаем сигнал управления третьей переменной состояния 
и введем новое входное воздействие 
.
`
Пусть управление имеет вид:
.
Новая модель ВСВ примет вид:
Итак, имеем новые матрицы описания объекта
Далее определим угловые значения матрицы 
Легко видеть, что элементы матрицы 
примут максимальные значения при 
, 
, а минимальные, наоборот, при 
, 
. Остается лишь сравнить значения матрицы при 
, 
и 
, 
.
Итак,
при , .
при , .
Интервальные матрицы вычисляем по правилам интервальной арифметики:
Граничные значения матрицы получим, скомпоновав экстремальные значения каждой составляющей матрицы .
, 
.
Необходимо отметить, что полученные граничные значения интервальной матрицы 
физически не реализуемы, то есть элементы матрицы не могут принять одновременно указанные экстремальные значения. Другими словами, здесь неизбежно закладывается избыточность в задании матрицы. Это сделано формально с тем, чтобы все реализации матрицы ограничивались указанными значениями.
Медианное значение интервальной матрицы найдем как половину суммы угловых значений.
.
.
, 
.
Формирование ММ:
Матрица 
составляется, исходя из требуемого распределения мод
, 
;
, 
.
.
Матрица 
выбирается из условия полной наблюдаемости пары и :
.
Решим задачу медианного МУ с помощью уравнения Сильвестра:
,
.
Формирование медианной составляющей 
интервальной матрицы :
, 
,
Проверка выполнения условия 
:
.
Таким образом, на частоте среза 
достигается требуемая относительная интервальность матрицы состояния системы.
Формирование закона управления:
, 
.
, 
.
Закон управления имеет вид:
.
Переходя от виртуального управления к реальному 
, получим следующий математическую версию закона управления:
.
Реализационная версия этого закона имеет вид:
.
Замечание 4.
Последняя версия будет реализуемой только в случае доступности измерению всех переменных состояния. В противном случае необходимо выстраивать наблюдатель, с целью получения оценок переменных состояния. В этом случае закон управления примет вид:
,
где и - оценки переменных состояния и соответственно.
Замечание 5.
Схема моделирования полученной интервальной системы представлена на рисунке 5.1:
Рисунок 5.1 – Схема моделирования интервальной системы
Переходная функция интервальной системы представлена на рисунке 5.2
Рисунок 5.2 – Переходная функция интервальной системы
Вывод к разделу 2:
Была построена модель траекторной чувствительности спроектированной непрерывной замкнутой системы. Был синтезирован закон управления доставляющей системе желаемые динамические и точностные свойства. Были оценены наиболее и наименее благоприятные распределения параметров. Был синтезирован закон управления для объекта, заданного интервальными элементами.
Исследование робастности полученной ЗС методом В.Л.Харитонова
Интервальная матрица состояния спроектированной ЗС имеет вид:
Матрица [F] имеет интервальный характеристический полином (ИХП)
где 
Полиномы В.Л.Харитонова в этом случае записываются в форме:
Нетрудно увидеть, что ИХП 
является гурвицевым. А это, по теореме В.Л.Харитонова, означает, что полученная в пункте 5 замкнутая система робастно устойчива.
Синтез параметрически инвариантной системы
Дано ВМО ВСВ НОУ с интервальными матричными компонентами в форме
, 
получаемое с использованием интервальной арифметики на основе интервальной реализации параметров 
, записываемых в форме 
при следующих граничных (угловых) значениях: 
.
Формирование ВМО ВСВ интервального НОУ:
, 
, 
.
При условии 
, матрица состояния объекта принимает вид:
1. Назначим желаемую структуру собственных значений матрицы состояний F проектируемой системы в форме {F}={ 
, 
=-2 } где =arg{( I-A)D 
ImB}
2. Формирование матриц описания объекта
; 
=>rank 
=1
3.Формирование матрицы D
Так как rank =1, то матрицу вариаций можно представить как произведения столбца на строку:
x(t)= 
Определяем свободные параметры условия принадлежности:
Откуда следует, что 
.
Таким образом, спектр собственных чисел матрицы F примет вид:
{F}={ =-1,9, =-2}
Проверка на принадлежность ядру матрицы:
Условие не выполняется, поэтому абсолютной параметрической инвариантности не достичь, и нужно ограничиться только некоторым значением ошибки по выходу в проектируемой системе.
4.Решение уравнений Сильвестра.
Представим это выражение в виде двух уравнений Сильвестра:
,
,
где 
Найдем решение этих уравнений относительно матриц 
и 
соответственно:
Вычислим матрицу отрицательной обратной связи 
:
5.Формирование матрицы прямой связи по задающему воздействию.
Сконструируем матрицу 
прямой связи по внешнему задающему воздействию g(t):
361,34
Построим реализационную версию закона управления в виде
,
где 
Проверим эффективность спроектированного неадаптивного закона управления на предмет удовлетворения техническим требованиям показателей качества по выходу 
и ошибке 
номинальной версии системы, а также наличие у системы параметрической инвариантности.
Рисунок 7.1. Схема моделирования спроектированной системы
Рисунок 7.2. Графики переходных процессов
Как видно из приведенных на рисунке 7.2 графиков, абсолютной параметрической инвариантности не достичь, и нужно ограничиться только некоторым значением ошибки по выходу в проектируемой системе.
Заключение
В ходе расчётной работы были построены модели траекторной чувствительности по всем варьируемым параметрам. Данные параметры были проранжированы по их потенциальной чувствительности. Была построена модель траекторной чувствительности дискретного объекта к вариации интервала дискретности. Был синтезирован закон управления доставляющей системе желаемые динамические и точностные свойства. Были оценены наиболее и наименее благоприятные распределения параметров. Был синтезирован закон управления для объекта, заданного интервальными элементами.
Также был синтезирован закон управления, обеспечивающий системе желаемых точностных и динамических показателей параметрическую инвариантность выходной переменной.
Список использованной литературы:
1 Никифоров В.О., Слита О.В., Ушаков А.В. Интеллектуальное управления в условиях неопределенности: учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО,2011. – 231 с.
2 Мирошник И.В. Теория автоматического управления: Линейные системы: Учебное пособие. – СПб: 2005. – 337 с.
3 Дударенко Н.А., Слита О.В, Ушаков А.В. Теоретические основы современной теории управления: аппарат метода пространства состояний: Учебное пособие/ Под ред. А.В. Ушакова – СПб: СПбГИТМО, 2009. – 342с.
4 Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация и робастность. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002. – 256с.
5 Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управления сложными динамическими системами. – СПб: Наука, 2000. – 214с.
6 Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. – Москва: Наука, 1981.
7 Ушаков А.В.Условия нулевой параметрической чувствительности и задаче слижения. Автоматика и телемеханика. – СПб, 1981.
8 Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973.
9 Григорьев В.В., Дроздов В.Н., Лаврентьев В.В., Ушаков А.В. Синтез регуляторов при помощи ЭВМ. – Л.: Машиностроение, Лениенгр.отд-ние, 1983.
10 ХаритоновВ.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений// Диф.уравн. 1978. Т.14. №11. С. 2099