Пример оформления задания №1
1. Перевести число из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную систему счисления.
1.1. Выполнить перевод числа 1011012 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
5 4 3 2 1 0
1011012 = 1´25 + 0´24 + 1´23 +1´22 + 0´21 +1´20 = 32+0+8+4+0+1=4510.
Проверим результат перевода:
1.) 45:2 = 22 (1);
2.) 22:2 = 11 (0);
3.) 11:2 = 5 (1);
4.) 5:2 = 2 (1);
5.) 2:2 = 1 (0).
Запишем число в двоичной системе счисления: 4510= 1011012. Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 1011012 = 4510.
1.2. Выполнить перевод числа 23128 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.
3 2 1 0
23128 = 2 ´ 83 +3 ´ 82 +1 ´ 81 +2 ´ 80 = 1024+192+8+2=122610.
Проверим результат перевода:
1.) 1226:8 = 153 (2);
2.) 153:8 = 19 (1);
3.) 19:8 = 2 (3);
Запишем число в восьмеричной системе счисления: 122610= 23128. Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 23128. = 122610.
1.3. Выполнить перевод числа 1dc16 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления.
2 1 0
1dc16 = 1 ´ 162 + 13 ´ 161 +12 ´ 160 = 256+208+12 = 47610.
Проверим результат перевода:
1.) 476:16 = 29 (12);
2.) 29:16 = 1 (13).
Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 47610= 1dc16. Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 1dc16 = 47610.
5.2. Пример оформления задания № 2
2. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
2.1. Выполнить перевод числа 89110 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:
1) 891:2 = 445 (1), 445 >= 2;
2) 445:2 = 111 (0), 111 >= 2;
3) 111:2 = 55 (1), 55 >= 2;
4) 55:2 = 27 (1), 27 >= 2;
5) 27:2 = 13 (1), 13 >= 2;
6) 13:2 = 6 (1), 6 >= 2;
7) 6:2 = 3 (0), 3 >= 2;
8) 3:2 = 1 (1), 1 < 2 – конец перевода.
Запишем результат перевода: 98110 = 11011110112.
Проверим результат перевода:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
11011110112 =1´29+1´28+0´27 +1´26 +1´25+1´24+1´23+0´22+1´21+1´20 =
= 512 + 256 + 0 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 98110..
Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 89110 = 11011110112.
2.2. Выполнить перевод числа 891 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:
1) 891:8 = 111 (3), 111 >= 8;
2) 111:8 = 13 (7), 13 >= 8;
3) 13:8 = 1 (5), 1 < 8 – конец перевода.
Запишем результат перевода: 89110 = 51738
Проверим результат перевода:
3 2 1 0
15738 = 1 ´ 83 + 5 ´ 82 + 7 ´ 81 + 3 ´ 80 = 512 +320 + 56 + 3 = 89110.
Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 89110 = 15738.
2.3. Выполнить перевод числа 89110 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления:
1) 891:16 = 55 (11), 55 >= 16;
2) 55:16 = 3 (7), 3 < 16 – конец перевода.
Запишем результат перевода: 89110 = 37b16
Проверим результат перевода:
2 1 0
37b16 = 3 ´ 162 + 7 ´ 161 +11 ´ 160 = 768 + 112 + 11 = 89110.
Проверка подтверждает правильность решения.
Ответ: 89110 = 37b16.
1. Выполнить перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
1.1. Переводим целую часть числа:
1) 17 : 2 = 8 (1), 8 >= 2;
2) 8 : 2 = 4 (0), 4 >= 2;
3) 4 : 2 = 2 (0), 2 >= 2;
4) 2 : 2 = 1 (0), 1< 2 – конец перевода.
Итак, 1710 = 100012
1.2. Переводим дробную часть числа:
1) 0.97 ´ 2 = 1.94 (1);
2) 0.94 ´ 2 = 1.88 (1);
3) 0.88 ´ 2 = 1.76 (1);
4) 0.76 ´ 2 = 1.52 (1);
5) 0.52 ´ 2 = 1.04 (1).
Итак, 0.9710 = 0.111112
Таким образом, 17.9710 = 10001.111112
2. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
2.1. Переводим целую часть числа:
1) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода.
Итак, 1710 = 218
2.2. Переводим дробную часть числа:
1) 0.97 ´ 8 = 7.76 (7);
2) 0.76 ´ 8 = 6.08 (6);
3) 0.08 ´ 8 = 0.64 (0);
Итак, 0.9710 = 0.7608
Таким образом, 17.9710 = 21.7608
3. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
3.1. Переводим целую часть числа:
1) 17 : 16 = 1 (1), 1 < 16 – конец перевода.
Итак, 1710 = 1116
3.2. Переводим целую часть числа:
1) 0.97 ´ 16 = 15.52 (15);
2) 0.52 ´ 16 = 8.32 (8);
Итак, 0.9710 = f816
Таким образом, 17.9710 = 11.f816
4. Выполним перевод числа 1001.11111 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
4 3 2 1 0-1-2-3–4-5
10001.11111 2 = 1 ´ 24 + 0 ´ 23 + 0 ´ 22 + 0 ´ 21 +1 ´ 20 +1 ´ 2-1 +1 ´ 2-2 + 1 ´2-3 + 1 ´ 2-4 + 1 ´ 2-5 = 16+0+0+0+1+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125 = =17.9687510.
Запишем искомое число: 10001.111112 = 17.9687510,
Имеем: 17,97 17,96875
5. Вычислим относительную ошибку e:
6. Выполним перевод числа 21.760 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.
1 0-1-2-3
21.7608 = 2 ´ 81 + 1´ 80 + 6 ´ 8-2 + 0.8-3 = 16 + 1 + 0.875 + 0.09375 + 0 = 17.9687510.
Запишем искомое число: 21.7608 = 17.9687510
Имеем: 17.97 17.96875
7. Вычислим относительную ошибку e:
8. Выполним перевод числа 11.f8 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления:
1 0 -1-2
11.f816 = 1 ´ 161 + 1 ´ 160 + 15 ´ 16 –1 + 8 ´16-2 = 16 + 1 + 0.9375 + 0.03125 = 17.9687510
Запишем искомое число: 11.f851e16 = 17.9687510
Имеем: 17.97 17.96875
9. Вычислим относительную ошибку e:
Пример выполнения задания № 3.
1. Представим числа 91 в формате хранения целого двоичного числа без знака.
1.1. Выполним перевод числа 91 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:
1) 91:2=45(1), 45 >= 2;
2) 45:2=22(1), 22 >= 2;
3) 22:2=11(0), 11 >= 2;
4) 11:2=5(1), 5 >= 2;
5) 2:2=1(1), 2 >= 2;
6) 2:2=1(0), 1 < 2-конец перевода
Итак, 9110 = 10110112.
Проверка: Выполним перевод числа 1011011 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
160514130211102 = 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 64 + 16 + + 8 + 2 + 1 = 9110.
Итак, 10110112 = 9110.
1.2. Полученное двоичное число 10110112 дополним слева нулями до разрядности, равной шестнадцати:
10110112 =00000000010110112.
Таким образом, число 91, представленное в формате хранения целого двоичного числа без знака будет иметь вид:
2. Представим число –91 в формате хранения целого двоичного числа со знаком.
2.1. Переведем абсолютное значение исходного числа в двоичную систему счисления:
1) 91:2=45(1), 45>=2;
2) 45:2=22(1), 22>=2;
3) 22:2=11(0), 11>=2;
4) 11:2=5(1), 5>=2;
5) 5:2=2(1), 2>=2;
6) 2:2=1(0), 1>2-конец перевода
Итак, 9110 = 10110112 .
2.2. Дополним слева нулями полученное двоичное число 1011011 до разрядности равной шестнадцати:
10110112 =00000000010110112 .
2.3. Найдем обратный код полученного числа 00000000010110110, заменив двоичные нули на единицы, а двоичные единицы –на двоичные нули:
0000000001011011 1111111110100100
2.4 Добавим к полученному двоичному числу 1111111110100100 двоичную единицу, по весу равную единице младшего разряда
+
0000000000000001
Таким образом, число -91 в памяти ЭВМ будет представляться кодом 1111111110100101:
3. Восстановим десятичное представление числа 11101101 хранимого в формате восьмиразрядного целого двоичного числа без знака.
Выполним перевод числа 11101101 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления
17161504131201102 = 1*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 + 1 * 23 + 1*22 + 0*21+1*20 = 128 + 64+ + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 23710
Таким образом, при переводе числа 111011012 в десятичную систему счисления получим число 23710.
Проверка: Выполним перевод числа 237 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:
1) 237 : 2 = 118 (1), 118 >=2;
2) 118 : 2 = 59 (0), 59 >=2;
3) 59 : 2 = 29 (1), 29 >=2;
4) 29 : 2 = 14 (1), 14 >=2;
5) 14 : 2 = 7 (0), 7 >=2;
6) 7 : 2 = 3 (1), 3 >=2;
7) 3 : 2 = 1 (1), 1<2-конец перевода.
Итак, 23710 = 111011012.
4. Восстановим десятичное представление числа 11101101 хранимого в формате восьмиразрядного целого числа со знаками
4.1. Найдем обратный код числа 11101101: Nобр = 00010010
4.2. Добавим к полученному числу единицу, по весу равную единице младшего разряда
+
00000001
Таким образом, в двоичной системе счисления положительная форма числа имеет вид:
Nпол2 = 0010011 = 10011.
4.3 Переводим положительную форму числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
Nпол = 10011 = N10 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 =16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 1910
Nпол10 = 1910
4.4 Записываем отрицательное число в десятичной системе счисления:
N10 = -1910
5. Представим дробное число 43.13 в коротком формате хранения с плавающей точкой
5.1 Переведем число 43.13 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления
5.1.1 Переводим целую часть числа:
1) 43 : 2 = 21 (1), 21 2
2) 21 : 2 = 10 (1), 10 2
3) 10 : 2 = 5 (0), 5 2
4) 5 : 2 = 2 (1), 2 2
5) 2 : 2 = 1 (0), 1 2 – конец перевода
Итак, 4310 = 1010112
5.1.2 Переводим дробную часть числа. Количество дробных разрядов числа определяем по формуле m = 24 – n, где m – количество дробных разрядов числа, n – номер старшего разряда целой части числа
m = 24 – 5 = 19:
1) 0.13 ´ 2 = 0.26 à 0;
2) 0.26 ´ 2 = 0.52 à 0;
3) 0.52 ´ 2 = 1.04 à 1;
4) 0.04 ´ 2 = 0.08 à 0;
5) 0.08 ´ 2 = 0.16 à 0;
6) 0.16 ´ 2 = 0.32 à 0;
7) 0.32 ´ 2 = 0.64 à 0;
8) 0.64 ´ 2 = 1.28 à 1;
9) 0.28 ´ 2 = 0.56 à 0;
10) 0.56 ´ 2 = 1.12 à 1;
11) 0.12 ´ 2 = 0.24 à 0;
12) 0.24 ´ 2 = 0.48 à 0;
13) 0.48 ´ 2 = 0.96 à 0;
14) 0.96 ´ 2 = 1.92 à 1;
15) 0.92 ´ 2 = 1.84 à 1;
16) 0.84 ´ 2 = 1.68 à 1;
17) 0.68 ´ 2 = 1.36 à 1;
18) 0.36 ´ 2 = 0.72 à 0
19) 0.72 ´ 2 = 1.44 à 1.
Итак, 0.1310 = 0.00100001010001111012
Таким образом, 43.1310 = 101011.00100001010001111012.
Проверка: Выполним перевод числа 101011.0010000101000111101 из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
150413021110.0-10-21-30-40-50-60-71-80-91-100-110-120-131-141-151-161-170-181-192 = 1 * 25 + 0 ´ 24 + 1 ´ 23 + 0 ´ 22 + 1 ´ 21 + 1 ´ 20 + 0 ´ 2-1 + 0 ´ 2-2 + 1 ´ 2-3 + 0 ´ 2-4 + 0 ´ 2-5 + 0 ´ 2-6 + 0 ´ 2-7 + 1 ´ 2-8 + 0 ´ 2-9 +1 ´ 2-10 + 0 ´ 2-11 + 0 ´ 2-12 + 0 ´ 2-13 + 1 ´ 2-14 + 1 ´ 2-15 + 1 ´ 2-16 + 1 ´ 2-17 + 0 ´ 2-18 + 1 ´ 2-19 = 32 + 8 + 2 + 1 + 0.125 + 0.00390625 + 0.0009765625 + 0.00006103515625 + 0.000030517578125 + 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 + 0.0000019073486328125 + … 43.13.
Итак, 101011.00100001010001111012 43.1310.
5.2. Округлим число. Для этого к полученному числу прибавим двоичную единицу, по весу равную единице младшего разряда:
101011.0010000101000111101
+
0.0000000000000000001
101011.0010000101000111110
5.3. Отбросим младший разряд суммы. В результате будет получено число:
101011.0010000101000111112
5.4. Нормализуем число, перемещаем точку на пять разрядов вправо:
101011.0010000101000111112 = 1.010110010000101000111112 * 2510
5.5. Отбросим старший разряд:
1.010110010000101000111112 à 0.010110010000101000111112
5.6. Определим двоичный код смещенного порядка:
510 + 12710 = 13210 = 100001002.
5.7. Определим знаковый разряд: знаковый разряд положительного числа равен 0.
5.8. Представление числа 43.13 в памяти ЭВМ имеет следующий вид:
Зн | Порядок | Мантисса | |||||||||||||||||||||||||||||||
1 байт | 2 байт | 3 байт | 4 байт | ||||||||||||||||||||||||||||||
с | f | ||||||||||||||||||||||||||||||||