Элементарные преобразования подынтегрального выражения.
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика (курс практических занятий) 2 семестр
Учебное пособие для специальности
09.03.03 «прикладная информатика в экономике»
(группы 446-1, 446-2)
Томск
ТУСУР
Электронное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1 и 446-2 весной 2017 года.
ПРАКТИКА № 1 (14.02.2017 у обеих групп).
Элементарные преобразования подынтегрального выражения.
Задача 1. Вычислить .
Решение.Известно, что . Для того, чтобы гарантированно правильно учесть коэффициент, лучше сразу домножить и поделить на 4, чтобы сформировать под знаком интеграла готовое выражение вида
. Итак,
=
=
=
.
Ответ. .
Задача 2. Вычислить .
Решение. Известно, что . При дифференцровании функций вида
происходило умножение на константу, а при интегрировании наоборот, деление. Чтобы понять, почему это так, постараемся сначала сформировать внутри интеграла готовую производную от этой экспоненты, для чего домножим и поделим на 5.
=
=
=
.
Ответ. .
Задача 3. Вычислить .
Решение. Замечая, что , преобразуем так:
=
=
=
.
Ответ. .
Задача 4.Вычислить .
Решение. Известна формула . Если в знаменателе линейная функция вида
, то можно добавить константу под знаком дифференциала, от этого ничего не изменилось бы, ведь производная константы это 0. Итак,
=
. Теперь интеграл имеет вид
и конечно, равен
. Фактически применили замену
. Сделав обратную замену, получаем ответ:
.
Ответ. .
Задача 5. Вычислить .
Решение.Здесь, в отличие от прошлой задачи, уже и в числителе есть переменная, то есть здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.
=
=
=
=
= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ:
.
Ответ. .
Задача 6. Вычислить .
Решение.В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.
Получили частное , остаток
. Теперь можно представить в виде суммы интегралов:
=
=
.
Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда =
=
что тоже приводит к
.
Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:
Ответ. .
Задача 7.Вычислить .
Решение.Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .
Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:
=
=
.
С помощью замены сводится к интегралу:
=
, и далее с помощью обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Задача 8. Вычислить .
Решение.В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.
Выделяя полный квадрат, получим =
.
В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается =
=
.
Ответ. .
Задача 9. Вычислить .
Решение. В данном примере D>0, в отличие от предыдущих. Нужно сначала разбить дробь на сумму простейших:
и после этого, будет сумма двух таких интегралов, каждый из которых сводится к логарифму. Чтобы найти А и В, приведём к общему знаменателю:
=
.
Теперь приравняем числители, ведь дроби равны, знаменатели одинаковы, значит и числители тоже:
.
Отсюда получается система уравнений, из которой можно найти неопределённые коэффициенты А и В:
Решая эту систему, получаем ,
. Тогда интеграл распадается на простейшие:
=
=
.
Ответ. .
Метод неопределённых коэффициентов подробнее будет изучаться в параграфе «интегрирование рациональных дробей», но его основная идея понятна уже из этой задачи.