Вычисление определенного интеграла
Правильные и неправильные рац. Дроби.
Рац. дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя (m<n) . Неправильной, когда степень числителя >= степени знаменателя.
Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов
1) , 2)
, 3)
, 4)
.
Интегрирование простейших дробей:
1) ,
2)
3)
=
4)
=
=
, где
.
Интегрир. Правильных дробей
Класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций.
При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.
Интегрир. Неправильных дробей.
Если рациональная функция не является рациональной дробью, то ее можно привести к сумме целой части – полинома и рациональной дроби.
Определенный интеграл как предел интегральных сумм
Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку
:
.
Геом. смысл
Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Физ. смысл: путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен
определенному интегралу от скорости v(t):
Эк. смысл
Т-время, лямбда<T=<бета
Р(T) –производная в момент времени Т
Интеграл от лямбда до бета по Р(Т)дТ=Q – кол-во произвед. Продукции за промежуток времени от лямбда до бета
Свойства определенного интеграла
Аддитивность:
1. Линейность:Свойства линейности
а) суперпозиции ,
б) однородности
Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)
Теорема об оценке определенного интеграла.
Пусть на отрезке
и функция
интегрируема на отрезке. Тогда
Доказательство. Интегрируя по свойству переход к нер-ву неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.
От константы .
.
Переход к нер-ву
Если на отрезке , то
.
Так как на отрезке, то
. Переходя к пределу, получим
.
Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
Пусть функция непрерывна на отрезке
. Тогда существует
, что
(или
).
Геометрически, смысл этого соотношения состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой .
Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своей верхней и нижней
грани. По теореме об оценке
, откуда, деля на
, получим
. По второй теореме Больцано – Коши функция, непрерывная на отрезке, принимает на нем все промежуточные значения между m и M. В частности, существует и такая точка
, в которой функция принимает свое промежуточное значение
, т.е.
Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу(основная теорема математического анализа)
Пусть функция непрерывна на отрезке
, пусть
. Тогда
.
Доказательство.
.
При доказательстве мы воспользовались теоремой о среднем и непрерывностью функции
.
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть функция непрерывна на отрезке
- некоторая первообразная функции
. Тогда
.
Доказательство. Из теоремы о производной интеграла по переменному верхнему пределу следует, что , т.е.
- первообразная для функции
. По теоремам о первообразных две первообразных отличаются на константу т.е.
Но
(свойство 4 определенного интеграла), поэтому
. Тогда
. Следовательно,
.
Вычисление определенного интеграла
Метод замены переменной.
Пусть
1) непрерывны при
,
2) значения ,
не выходят за границы
,
3) ,
Тогда