Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы
Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.
Определение 8.Квадратичная форма называется:
положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора
:
;
отрицательно определенной, если для всякого ненулевого вектора
:
;
неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора
:
;
неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора
:
;
знакопеременной, если существуют ненулевые векторы
,
:
.
Определение 9. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.
Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому виду. Справедливы следующие две теоремы.
Теорема 4. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру
(
,
). Тогда:
является положительно определенной
;
является отрицательно определенной
;
является неположительно определенной
;
является неотрицательно определенной
;
является знакопеременной
.
Ниже в таблице указаны примеры квадратичных форм ( ), записанных в каноническом виде, их тип и сигнатуры.
№ | Квадратичная форма | Сигнатура | Тип формы |
![]() | ![]() | Положительно определенная | |
![]() | ![]() | Отрицательно определенная | |
![]() | ![]() | Неположительно определенная | |
![]() | ![]() | Неотрицательно определенная | |
![]() | ![]() | Знакопеременная, невырожденная | |
![]() | ![]() | Знакопеременная, вырожденная |
Теорема 5. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду
методом ортогональных преобразований ( собственные значения матрицы формы
). Тогда:
является положительно определенной
при всех
;
является отрицательно определенной
при всех
;
является неположительно определенной
при всех
;
является неотрицательно определенной
при всех
;
является знакопеременной
среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.
Критерий Сильвестра
Тип квадратичной формы можно определить, не приводя ее к каноническому виду. Следующий ниже критерий Сильвестра позволяет определить тип квадратичной формы по знакам угловых миноров ее матрицы.
Рассмотрим угловые миноры (
), являющиеся определителями подматриц
матрицы
квадратичной формы:
Теорема 6(критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы).Квадратичная форма является:
1) положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы
положительны:
(
)
2) отрицательно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы
отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус:
В заключение приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичных форм по двум основным критериям.
Квадратичная форма | Обозна- чение | Оценка знакоопределенности формы | |
по главным минорам матрицы квадратичной формы | по собственным значениям матрицы квадратичной формы | ||
положительно определенная | ![]() | если все угловые миноры ![]() ![]() ![]() | если все собственные значения положительны |
отрицательно определенная | ![]() | если все угловые миноры ![]() ![]() | если все собственные значения отрицательны |
неотрицательно определенная | ![]() | если все угловые миноры ![]() ![]() ![]() | если все собственные значения неотрицательны |
неположительно определенная | ![]() | если в угловых минорах ![]() ![]() | если все собственные значения неположительны |
знакопеременная | среди собственных значений имеются как положительные, так и отрицательные |
Пример 6.Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формыот двух переменных
,
,
,
.
Решение.
1) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
,
.
Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, квадратичная форма является положительно определенной.
2) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
,
.
Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры матрицы отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная со знака минус, то квадратичная форма является отрицательно определенной.
3) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
,
.
Так как в этом случае второй угловой минор отрицателен, то согласно таблице квадратичная форма является знакопеременной.
4) Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры равны
,
.
Так первый угловой минор положителен, а второй угловой минор равен нулю, то согласно таблице квадратичная форма является неотрицательно определенной.
Заметим, что в данном случае
.
Пример 7.Исследовать на знакоопределенность квадратичную формуот трех переменных
.
Решение.Матрица формы имеет вид
.
Ее угловые миноры положительны:
,
,
.
Согласно критерию Сильвестра, так как все угловые миноры положительны, то квадратичная форма является положительно определенной.