Угловые преобразования главных осей
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСА
Статические моменты сечения
При решении задач, связанных с изгибом и кручением конструкции, возникает необходимость оперировать с рядом геометрических характеристик поперечных сечений бруса. Рассмотрим произвольное поперечное сечение бруса, представленное на рис.3.1, и запишем для него два интеграла:
. (3.1)
Каждый из интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dF на расстояние до соответствующей оси (х или у). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси х, а второй - статическим моментом сечения относительно оси у. Размерность статического момента см3.
Рассмотрим две параллельные системы осей х1, y1 и х2,у2 (рис.3.2). Расстояние между осями х1 и х2 равно b, а между осями у1 и у2 равно а. Пусть заданы площадь сечения F и статические моменты относительно осейх1и у1, которые равны Sx1 и Sy1.Требуется определить Sx2 и Sy2
Очевидны соотношения:
x2 = x1 – a, и y2 = y1 - b (3.2)
Статические моменты относительно новых осей будут равны:
,
или 
,
(3.3)
Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину, равную произведению площади F на расстояние между осями. Рассмотрим первое из полученных выражений (3.3). Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. Ее можно подобрать, так, чтобы произведение bF было равно Sх1, тогда статический момент Sх2 относительно оси х2 обращается в нуль.
Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой произвольно взятой оси х1 равно:
, и, аналогично, 
(3.4)
Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения. Статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. Если сечение выполнено из одного материала, то центр тяжести сечения совпадает с центром тяжести масс. Момент сил веса относительно оси, проходящей через центр тяжести масс, также равен нулю.
Моменты инерции сечения
Рассмотрим еще три интеграла:
(3.5)
Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно.
Третий интеграл носит название центробежного момента инерции сечения относительно осей x и у. Размерность моментов инерции см4. Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку положительна площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно системы осей х, у.
Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и у1. Требуется определить моменты инерции относительно осей х2 и у2, то есть значение следующих интегралов:
(3.6)
Подставляя в интегралы (3.6) выражения (3.2), получим:
,
, (3.7)
Раскрывая скобки в (3.7), и учитывая выражения (3.1), получим:
(3.8)
Если оси x и у – центральные (рис.3.3), то Sх = Sy= 0 и полученные выражения существенно упрощаются:
(3.9)
Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей - центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. Из первых двух формул (3.9) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а=0 или b=0). При переходе от центральных осей к нецентральным, осевые моменты инерции увеличиваются, и величины а2F и b2F следует к моментам инерции прибавлять, а при обратном переходе вычитать.
При определении центробежного момента инерции. следует иметь в виду, что часть площади, находящаяся в 1 и III квадрантах системы координат х2, у2 (рис.3.4), дает положительный вклад в значение центробежного момента, а части, находящиеся в II и IV квадрантах, дают отрицательный вклад.
Угловые преобразования главных осей
Пусть известны моменты инерции сечения относительно системы осей х, у. Требуется определить моменты инерции относительно осей и, v, (Ju Jv и Juv), повернутых относительно первой системы на угол a (рис.3.5). Координаты площадки dF в системах координат х,у и и,v связаны аффинным преобразованием поворота системы координат:
(3.10)
Запишем моменты инерции сечения в осях u и v:
,
,
(3.11)
Произведем в выражениях 3.11 замену переменных согласно (3.10). Тогда: 
,
,
откуда, с учетом определения (3.5), получим:
(3.12)
Складывая почленно два первых выражения из 3.12, получим:
(3.13)
Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла a и при повороте осей остается постоянной.
Заметим при этом, что
,
где — расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис.3.1). Таким образом,
, (3.14)
где Jp - полярный момент инерции
. (3.15)
При изменении угла поворота осей a каждая из величин Ju и Jv меняется, а сумма их остается неизменной. Существует такой угол a, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, а другой момент инерции принимает минимальное значение. Дифференцируя выражение Ju (3.12) по a и приравнивая производную нулю, находим этот угол: 
. (3.16)
Центробежный момент инерции Juv при указанном угле a обращается в нуль, что можно установить из третьей формулы (3.12).
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными центральными осями. Ось симметрии всегда является главной. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Определим их. Для этого первые две формулы (3.12) перепишем в виде:
,
Учитывая, что 
и 
,
исключаем при помощи выражения (3.16) угол a.
Тогда: 
Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний - минимальному. После того, как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно визуальной оценкой установить, которой из двух осей соответствует максимальный момент инерции (см. рис.3.6).
Справка
Для прямоугольного сечения моменты инерции равны:
Jx = bh3/12, Jy = hb3/12,
где h, b - высота и ширина сечения соответственно.
Пример. Оценка геометрических характеристик сечения замкнутой балочной системы
На рис.3.7 показан самолет с замкнутой системой крыльев. Вертикальное сечение такой системы крыльев по потоку представлено на рис.3.8. Знак угла выноса системы y, то есть взаимное расположение крыльев по высоте, с точки зрения методики и результата прочностного расчета несущественен. Сопоставим жесткостные характеристики сечения кессона при его автономной работе, как консоли (рис.3.9) и работе в составе замкнутой системы крыльев (рис.3.10). Для кессона с шириной b, высотой h и постоянной толщиной обшивки t примем близкое к реальному соотношение размеров:
b / h / t = 100 / 10 / 1.
Вычислим моменты инерции для сечения, показанного на рис.3.9 в системе координат x,y. как разность моментов инерции внешнего и внутреннего контуров:
Jx = bh3/12 – (b-2t)(h-2t)3/12 =
= 100 ×103/12 – 98 × 83/12 = 8.333 – 4.181 = 4.152 см4
Jy = hb3/12 – (h-2t)(b-2t)3/12 =
=10 ×1003/12–8 × 983/12 = 833.333-627.461 = 205.872 см4
Jxy = 0, поскольку оси х,у для консольного кессона –
главные.
Теперь рассмотрим работу двух кессонов в связанной системе крыльев. Такая система крыльев, как показывают расчетные и экспериментальные исследования, обладает минимальной жесткостью на изгиб из плоскости, проходящей через оси крыльев (рис.3.10), а лежащая в этой плоскости ось U и перпендикулярная ей ось V являются для сечения центральными и главными.
Угол наклона плоскости UV к потоку определим как:
y = Arc tg (HСАХ/ LСАХ),
где LСАХ, НСАХ - соответственно расстояние по потоку и перепад высот осей кессонов в сечении средней аэродинамической хорды (САХ). Примем y = 30°. При рассмотрении изгиба крыла важнейшей компонентой является изгиб в плоскости минимальной жесткости. Определим момент
инерции Jv для одного кессона:
Ju = 4.152 × cos230 - 0 + 205.872 × sin230 =
= 3.114 + 51.468 = 54.582 см4
Сопоставим вклад одного кессона в момент инерции сечения АА конструкции в направлении ее минимальной жесткости для двух рассмотренных случаев.
Ju / Jx = 54.582 / 4.152 = 13,1
При рассмотрении работы конструкции в указанной плоскости обнаруживаются еще один факт, положительный с точки зрения прочности: конструкция воспринимает в этой плоскости не всю вертикальную нагрузку, а только одну из компонент ее векторного разложения:
PV = PY × сos y. = 0,87 PY.
Отметим, что значение Jv неустойчиво, поскольку кессоны в сечении не связаны, и при деформации вследствие крутки элементов крыла меняется взаимное угловое положение кессонов. Следовательно, подсчет жесткостных характеристик для сечений с несвязанными областями носит условный и приближенный характер.
Оптимизация распределения силового материала в сечении приводит к сосредоточению материала в наиболее удаленных от оси U углах кессона (рис.3.10).