Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

рис. 37	Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.
рис. 38	Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

рис. 39

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.