Дополнительные соотношения между элементами призмы
Если в наклонной призме боковое ребро 
образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины 
, то основание О высоты 
лежит на биссектрисе угла (рис. 7).
Доказательство: 
Проведем 
и отрезки 
Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем 
и 
. Прямоугольные треугольники 
и 
равны, поскольку имеют общую гипотенузу и одинаковые углы ( 
по условию). Следовательно, 
и 
, отсюда 
Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе 
угла . [3, 24]
Задачи
1.Ребро куба равно а.
Найдите:
Диагональ грани: d= a2.
Диагональ куба: D= a3.
Периметр основания: P= 4a.
2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.
Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы
Решение
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть 
, где 
- площадь основания призмы, 
- площадь боковой поверхности, содержащей основание, 
- площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 
, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:
Таким образом:
, 
3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 
, а высота 14 см. Найти диагональ призмы.
Решение
Правильный четырехугольник – это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: 
Ответ: 22 см
4. Рассмотрим правильную четырехугольную призму 
, диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину 
и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если 
Решение
Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы
Построение сечения видно на рисунке, где К и L – середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F – точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник 
площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников 
и 
а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники 
и 
равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:
Проекция пятиугольника 
на плоскость основания призмы есть пятиугольник 
, площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата 
площадь треугольника ВКL:
Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как 
и 
(согласно теореме о трех перпендикулярах), то 
– линейный угол двугранного угла КL.
Далее находим:
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора имеем:
Значит, 
и 
5. Дана правильная призма: 
, 
. Найти высоту призмы.
Решение
Площадь основания 
АВ= 2 см.
Периметр основания Р = 8 см.
Высота призмы 
6. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.
Решение
Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы
Пусть – данный параллелепипед с основаниями , 
и боковыми рёбрами 
, причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина 
равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах 
, поэтому 
– высота грани 
. Из прямоугольного треугольника 
находим, что
.
Значит,
Аналогично,
Если S – полная поверхность параллелепипеда , то
.
7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.
Доказательство
У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.
8. В параллелепипеде грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро 
также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы 
. Найдите диагональ 
.
Решение
Треугольник 
– равносторонний, т.к. = AB и 
. Поэтому 
. Аналогично, 
. Боковые рёбра 
треугольной пирамиды 
с вершиной равны между собой, значит, высота этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника 
находим, что
Поскольку 
, точка равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку 
|| и = , четырёхугольник 
– прямоугольник, поэтому OK= 
=5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK= 
. Из прямоугольных треугольников MKB и 
находим, что:
9. На ребре AD и диагонали 
параллелепипеда взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости 
и AM:AD = 1:5. Найдите отношение 
.
Решение
Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости и 
пересекаются по прямой 
, поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке Q, причём
Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости и пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости ). Рассмотрим параллелограмм . Так как
то 
10. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
Решение
Пусть O – общая середина отрезков , 
и 
. Тогда AB|| и AD|| . Значит, плоскости ABD и 
параллельны. Аналогично, плоскость 
параллельна плоскости 
. В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и 
так, что ABCD и – параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и || 
, то CD|| . Поэтому плоскости 
и 
также параллельны. Шестигранник 
, образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед
Наклонная призма
Объем наклонной призмы
V=Sпсa,
где Sпс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы
Sб=Pпсa,
где Pпс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.
Площадь полной поверхности наклонной призмы
Sп=Sб+2Sосн,
где Sб, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, Sосн - площадь её основания.
Прямая призма
Объем прямой призмы
V=Sоснa,
где Sосн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.
Площадь боковой поверхности прямой призмы
Sб=Pоснa,
где Pосн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.
Площадь полной поверхности прямой призмы
Sп=Sб+2Sосн,
где Sб, - площадь боковой поверхности прямой призмы, Sосн - площадь основания.
Прямоугольный параллелепипед
Объем прямоугольного параллелепипеда
V=abc,
где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности параллелепипеда
Sб=2c(a+b),
где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда
Sп=2(ab+bc+ac),
где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.
Куб
V=a3, Sб=4a2, Sп=6a2,
где a - ребро куба.
Пирамида
Объем пирамиды
где Sосн - площадь основания, H - высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Площадь полной поверхности пирамиды
Sп=Sб+2Sосн,
где Sб - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, Sосн - площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
где Pосн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.
Усеченная пирамида
Объем усеченной пирамиды
где S1 , S2 - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды
Sп=Sб+S1+S2 ,
где Sб - площадь боковой поверхности пирамиды, S1 , S2 - площади оснований.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
где P1 , P2 - периметры оснований, а l - ее апофема.
Цилиндр
Объем цилиндра
V=p R 2H ,
где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Sб=2p R H ,
где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
Площадь полной поверхности цилиндра
Sп=2p R H + 2p R2,
где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
Конус
Объем конуса
где R - радиус основания конуса, а H - его высота.
Площадь боковой поверхности конуса.
Sб=2p R L ,
где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
Площадь полной поверхности конуса
Sп=2p R (R+L),
где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
Усеченный конус
Объем усеченного конуса
где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса
Sб=p L (R+r),
где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.
Площадь полной поверхности усеченного конуса
Sп=p L (R+r)+p R2+p r2,
где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.
Сфера и шар
Объем шара
где R - радиус шара
Площадь сферы (площадь поверхности шара)
S=4p R2,
где R - радиус сферы
Объем шарового сегмента
где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара
Объем шарового сектора
где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара