Незалежні події. Незалежність в сукупності.

Теорія ймовірностей 2.

Класичне означення ймовірності:

 

Якщо дане випробування може мати N різних наслідків, і всі вони рівноможливі, а подія А настає в k з цих наслідків, то ймовірність А дорівнює .

 

Зауваження. Іноді такі наслідки називають ще випадками.

Зауваження. Наслідки, в яких настає подія А, називають сприятливими для неї.

Властивості ймовірності:

1. Ймовірність події виражається числом від нуля до одиниці:

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю ( ).

3. Ймовірність вірогідної події дорівнює 1 ( ).

4. (Теорема додавання) для несумісних подій А та В.

Наслідок.

5. (теорема додавання для сумісних подій): .

Зауваження. Властивість 5 є узагальненням властивості 4.

 

Для трьох подій:

Приклади

Обчислення ймовірностей класичним

способом:

Геометрична ймовірність.

Якщо стохастичний експеримент даної задачі можна розглядати, або інтерпретувати як вибір однієї точки навгад з певної геометричної фігури (відрізка, кривої, плоскої або об’ємної фігури), а події А відповідає підмножина А фігури , то геометричною ймовірністю А називають відношення де - довжина, або площа, або об’єм відповідно для ліній, плоских фігур або об’ємних фігур.

 

Приклад.

 

Зауваження. Геометрична ймовірність » яку частину від становить А.

Зауваження. Всі точки розглядаються як рівноправні, рівноможливі.

 

Задача про зустріч: Двоє домовились зустрітись від 12 до 13 години в певному місці. Кожен приходить в випадковий момент часу, чекає 20 хвилин і йде геть. Яка ймовірність того, що зустріч відбудеться?

Задача Бюффона. На площині проведено паралельні прямі на відстані 2а одна від одної. Випадковим чином кидають на площину голку 2l (l < a). Яка ймовірність того, що голка перетне одну з прямих?

 

 

Умовні ймовірності. Теорема множення.

Умовною ймовірністю події А за умови, що настала подія В, називається відношення ймовірності їх перетину до ймовірності події В.

Зауваження. Це можна розглядати як ймовірність появи події А за умови, що подія В обов’язково відбувається.

 

Формула множення для двох подій:

.

Ймовірність перетину двох подій дорівнює добутку ймовірності першої події на ймовірність другої події за умови, що відбулася перша.

Формула множення для кількох подій:

 

Незалежні події. Незалежність в сукупності.

 

 

Кажуть, що подія А незалежна від події В, якщо її безумовна ймовірність дорівнює умовній за умови В.

 

 

Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність їх добутку дорівнює добутку їх ймовірностей.

 

 

Події називаються незалежними в сукупності, якщо ймовірність перетину будь-яких кількох з них дорівнює добутку відповідних ймовірностей.

 

 

Ймовірність настання хоч однієї з незалежних в сукупності подій:

. - незалежні в сукупності,

Теорема. Якщо А і В – незалежні, то А і незалежні, і В незалежні, і незалежні.

 

Вправа. А і незалежні, А і незалежні: перевірити.