Решите неравенство: Решение.
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: 
16. Две окружности пересекаются в точках 
и 
Прямая, проходящая через точку 
второй раз пересекает первую окружность в точке 
а вторую — в точке 
Прямая, проходящая через точку 
параллельно 
второй раз пересекает первую окружность в точке 
а вторую — в точке 
а) Докажите, что четырёхугольник 
— параллелограмм.
б) Найдите отношение 
если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
Решение.
а) 
Обозначим 
. Поскольку 
и 
— вписанные четырёхугольники.
Значит, 
, и поэтому 
. Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
б) Пусть 
— радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 
. По теореме синусов: 
Следовательно, 
.
Ответ: 2.
17. 1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Решение.
Ясно, что чем больше месячные выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 220 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.
| Месяц | Долг на первое число месяца (тыс. руб) | Долг после выплаты (тыс. руб) |
| 920,04 | 700,04 | |
| 714,04 | 494,04 | |
| 503,92 | 283,92 | |
| 289,60 | 69,60 | |
| 70,99 |
Заметим, что в последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев.
Ответ: 6.
18. Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система
имеет ровно 
решений.
Решение.
Преобразуем систему, получим:
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рисунок):
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки 
и 
пересекая параболу еще в четырех точках.
При этом радиус окружности равен 
откуда 
или 
Ответ: 
19. Найдите все простые числа 
, для каждого из которых существует такое целое число 
, что дробь 
сократима на 
Решение.
Если целые числа 
и 
делятся на , то целое число
также делится на
Тогда число
тоже делится на
Тогда число
также делится на b. Таким образом, искомое b — простой делитель числа 72, то есть 2 или 3.
Осталось проверить для каких из найденных чисел можно подобрать .
Если нечётное, то числитель и знаменатель данной дроби четны, поэтому дробь можно сократить на 2.
Если кратно 3, то числитель и знаменатель данной дроби также кратны 3, поэтому дробь можно сократить на 3.
Ответ: 2, 3.
Вариант 5 13. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение.
а) Перейдем к одному основанию:
Значит, или 
откуда 
или 
откуда 
или 
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Получим числа: 
Ответ: а) 
б) 
14. Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 
. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен 
, L — середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.
Решение.
Обозначим угол между 
и 
буквой 
. Пусть 
— высота пирамиды 
. Тогда 
— средняя линия треугольника 
, следовательно, 
. Поэтому 
. По условию 
.
Основание — квадрат со стороной, равной 
. Следовательно, 
, 
, 
. Далее, из прямоугольного треугольника 
находим:
Боковое ребро 
, поскольку — средняя линия треугольника . Далее, из прямоугольного треугольника 
находим искомую высоту пирамиды :
Ответ: 
.
15. Решите неравенство: 
Решение.
Пусть t = 2x, тогда неравенство принимает вид:
Тогда либо 2x = 2, откуда x = 1, либо 4 < 2x < 8, откуда 2 < x < 3.
Ответ: 
16. Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
Решение.
а) Прямые AE и CD параллельны, a DE — биссектриса угла ADC, поэтому AED = CDE = ADE. Значит, треугольникADE равнобедренный, AD = АЕ. Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны, значит, треугольник ATK также равнобедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий. Поэтому ATK = ADE. Следовательно, KT || DE. 
б) Пусть окружность касается основания DE равнобедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M — середина DE. Обозначим DM = x. Тогда DT = DM = x, AT = AD DT = 8 x. Треугольник ATK подобен треугольнику ADE, поэтому 
или 
Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, BAD = EAD = 60°.
Ответ: 60°.
17. 31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Валерий переводит очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 660 тыс рублей, во второй — 484 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?
Решение.
Пусть 
- это процент, под который банк выдал кредит Валерию. Из условия следует, что на 31 декабря 2015 года у Валерия был долг: 
Из этого долга он погасил 
тыс. рублей. Перед вторым траншем его долг составлял:
И он полностью погасил данную сумму 
тыс. рублей.
Составим уравнение:
Ответ: 10
18. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.
Решение.
При 
а её график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
При 
а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. Все четыре возможных вида графика функции 
показаны на рисунках.
Наименьшее значение функция 
может принять только в точках x = 1, x = 7 или x = 4 a. Поэтому наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда
Если 
то 
откуда 
Этот промежуток содержит интервал 
Если 
то 
откуда 
Значит, 
Объединяя найденные промежутки, получаем: 
Ответ: 
19. Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 , 7, 8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 , 7, 8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?
Решение.
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1;2); (2;1); (3;4); (4;3); (5;7); (7;5); (8;9); (9;8).
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.