Динамика абсолютно твердого тела

Динамика абсолютно твердого тела полностью определяется его полной массой, положением центра масс и тензором инерции (также, как динамика материальной точки — ее массой). (Конечно, имеется в виду, что заданы все внешние силы и внешние связи, которые, конечно, могут зависеть от формы тела или его частей итд).

Другими словами, динамика абсолютно твердого тела при неизменных внешних силах зависит от распределения его масс только через полную массу, центр масс и тензор инерции, в остальном детали распределения масс абсолютно твердого тела никак не скажется на его движении^[2]; если как-то так перераспределить массы внутри абсолютно твердого тела, что не изменится центр масс и тензор инерции, движение твердого тела в заданных внешних силах не изменится (хотя при этом могут измениться и как правило изменятся внутренние напряжения в самом твердом теле!).

Примечания

В некоторых частных случаях (например при быстром движении относительно наблюдателя тела, которое само вращается медленно) модель абсолютно твердого тела может принести пользу: задача сперва решается в ньютоновском приближении в системе отсчета, связанной, например, с центром масс тела, где все движения медленные, а потом с помощью преобразований Лоренца делается пересчет готового решения в систему отсчета наблюдателя. Однако всегда нужна особая осторожность при таком применении, так как вообще говоря при использовании модели абсолютно черного тела в такой ситуации повышен риск получить или явный парадокс, или просто неверный ответ.

Случаи, когда (внешние) силы зависят от масс, например, случай (неоднородной) гравитации, в принципе нарушают простое утверждение о независимости динамики абсолютно твердого тела от деталей распределения его массы. Это нарушение устраняется в нашей формулировке оговоркой о неизменности внешних сил. В практических же расчетах всегда можно рассмотреть распределение массы, от которого зависят силы, (например — распределение гравитационной массы в случае тяготения) чисто формально независимым от распределения инертной массы — хотя на самом деле они совпадают; тогда утверждение о независимости динамики от деталей распределения массы формально же касается только второго из них, а не первого.

Деформируемое тело (англ. deformable body) — физическое тело, способное к деформации, то есть тело, способное изменить свою форму, внутреннюю структуру, объём, площадь поверхности под действием внешних сил. Относительная позиция любых составных точек деформируемого тела может изменяться. Деформируемые тела являются противоположностьюабсолютно твёрдых тел, которые определены их элементами. Идеальным представлением деформируемого тела является бесконечное количество частиц, наполняющих его.

Согласно физике деформируемое тело — это механическая система, обладающая внутренними степенями свободы (в дополнение к поступательным и вращательным), которые обычно называют колебательными степенями свободы. Деформируемое тело без диссипационных степеней свободы называется абсолютно упругим телом; если же имеется диссипация, то тело называется неупругим.

Важнейшим случаем деформируемого тела является система взаимодействующих материальных точек, или, условно говоря, «молекула». «Молекула», состоящая из N «атомов» (то есть материальных точек), обладает в трёхмерном пространстве 3N степенями свободы, из которых три поступательных, три вращательных (две вращательных для двухатомной молекулы), и остальные — колебательные.

Деформируемое тело, по сравнению с абсолютно твёрдым телом, намного тяжелее симулировать и обработать. Уравнения движения деформируемого тела намного более сложны, так как необходима дополнительная система координат для учёта деформации тела. Теория малых смещений часто используется инженерами и физиками для решения проблем теории упругости, в которые вовлечена деформация. Это позволяет упростить проблему и облегчить её решение. Эти аппроксимации (приближения) позволяют методике очень сильно приблизиться к реальности, однако только до тех пор, пока деформации незначительные. Если необходимо обработать большие смещения, необходимо использовать метод конечных элементов.

Деформируемое тело может деформироваться под воздействием внешней силы (в этом случае энергия деформации передаётся через работу) или из-за изменения температуры (энергия деформации в этом случае передаётся через тепло). Результатом первого случая может быть растяжение (вытяжение) тела вдоль одной из его осей, сдавливание, изгиб и скручивание. Во втором случае наиболее значительным фактором, определяемым величиной температуры, является подвижность структурных дефектов: межзёренных границ, вакансий, линейных и винтовых дислокаций, дефектов упаковки, двойников. Перемещение и сдвиг таких подвижных дефектов активируется термически, и потому ограничено уровнем атомной диффузии. Деформации обычно характеризуются тензором деформации.^[1][2]

Абсолютно упругое тело

Абсолютно упругое тело в механике — частный случай деформируемого тела, которое после прекращения действия причины, вызвавшей его деформацию, полностью восстанавливает исходные размеры и форму, т. е. в нём отсутствует остаточная деформация. Можно сказать, что абсолютно упругое тело — это тело, не обладающее диссипацией. Абсолютно упругих тел не существует, но эта абстракция полезна при решении многих физических задач.

Сплошная среда — механическая система, обладающая бесконечным числом внутренних степеней свободы. Её движение в пространстве, в отличие от других механических систем, описывается не координатами и скоростями отдельных частиц, а скалярным полем плотности и векторным полем скоростей. В зависимости от задач, к этим полям могут добавляться поля других физических величин (концентрация, температура, поляризованность и др.)

Если плотность сплошной среды постулируется равной константе, то такая сплошная среда называется несжимаемой.

Сплошная среда — часто и успешно используемая в физике сплошных сред модель для более-менее однородных систем с очень большим числом частиц (то есть степеней свободы). Так, теория упругости, гидро- и аэродинамика, физика плазмы формулируются именно для сплошной среды. Однако с точки зрения математической строгости следует помнить об одной неточности: все реальные системы обладают пусть большим, но конечным числом степеней свободы. Сплошная же среда обладает не просто бесконечным, а несчётным числом степеней свободы.

Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.

Единица измерения в системе СИ — Джоуль.

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленнаядвижением.

Абсолютно твёрдое тело

Абсолютно твёрдое тело — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек (с наложенными связями), но имеет собственное содержание (полезные понятия и соотношения, которые могут быть сформулированы в рамках модели абсолютно твердого тела), представляющее большой теоретический и практический интерес.

Классическая механика — вид механики (раздела физики, изучающего законы изменения положений тел в пространстве со временем и причины, это вызывающие), основанный на законах Ньютона и принципе относительности Галилея. Поэтому её часто называют «Ньютоновской механикой».

Классическая механика подразделяется на:

§ статику (которая рассматривает равновесие тел)

§ кинематику (которая изучает геометрическое свойство движения без рассмотрения его причин)

§ динамику (которая рассматривает движение тел).

Существует несколько эквивалентных способов формального математического описания классической механики:

§ Законы Ньютона

§ Лагранжев формализм

§ Гамильтонов формализм

§ Формализм Гамильтона — Якоби

Классическая механика даёт очень точные результаты, если её применение ограничено телами, скорости которых много меньше скорости света, а размеры значительно превышают размеры атомов и молекул. Обобщением классической механики на тела, двигающиеся с произвольной скоростью, является релятивистская механика, а на тела, размеры которых сравнимы с атомными — квантовая механика. Квантовая теория поля рассматривает квантовые релятивистские эффекты.

Тем не менее, классическая механика сохраняет своё значение, поскольку:

1. она намного проще в понимании и использовании, чем остальные теории

2. в обширном диапазоне она достаточно хорошо описывает реальность.

Классическую механику можно использовать для описания движения таких объектов, как волчок и бейсбольный мяч, многих астрономических объектов (таких, как планеты и галактики), и иногда даже многих микроскопических объектов, таких как молекулы.

Классическая механика является самосогласованной теорией, то есть в её рамках не существует утверждений, противоречащих друг другу. Однако, её объединение с другими классическими теориями, например классической электродинамикой и термодинамикой приводит к появлению неразрешимых противоречий. В частности, классическая электродинамика предсказывает, что скорость света постоянна для всех наблюдателей, что несовместимо с классической механикой. В начале XX века это привело к необходимости создания специальной теории относительности. При рассмотрении совместно с термодинамикой, классическая механика приводит к парадоксу Гиббса, в котором невозможно точно определить величину энтропии, и к ультрафиолетовой катастрофе, в которой абсолютно чёрное тело должно излучать бесконечное количество энергии. Попытки разрешить эти проблемы привели к развитию квантовой механики.

Закон Гука — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь F — сила натяжения стержня, l — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k называется коэффициентом упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как

Величина E называется Модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.