Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции . Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

пример

Данная функция не определена в точках x = 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

39 Производной функции у = f{x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производную функции у = f{x) в точке х0 в контрольных по математике и учебниках обозначают символом f'(x0). Следовательно, по определению

Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат.

Уравнение касательной к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо ) принимает вид Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линии у = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так:

47 Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾⁽x) = (f^(n-1)(x))', n N, f⁽⁰⁾⁽x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1 f(x)), d⁰f(x) = f(x), n N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾⁽x)(dx)ⁿ.

48дифференциал. Геометрический смысл.

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение x, тогда функция получит приращение y = NM1. Значениям x+x и y+y на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(x+x; y+y).

Из MNT находим NT=MN·tg . Т.к. tg = f '(x), а MN = x, то NT = f '(x)·x. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·x, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и x, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

50Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность

типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично

59 Комплексныечисла— расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.