Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)

10.

Показательная функция , где a > 1

1. 2
1) Область определения: 1) Область определения:

= [ ) = ( )
2) Область значений: = [ )2) Область значений: = ( )
3) Промежуток возрастания: [ ) 3) Промежуток возрастании( )

4) Промежутки убывания: нет 4) Промежутки убывания: нет
5) Нули функции: 5) Нули функции: нет
6) четная

Показательная функция, где a < 1

1) Область определения:= ()
2) Область значений: = ()
3) Промежутки возрастания: нет
4) Промежуток убывания:( )

Нули функции: нет

4) Логарифмическая функция , a > 1 5) Логарифмическая функция , a < 1

1) Область определения: = ( ) 1) Область определения: = ( )
2) Область значений: = ( ) 2) Область значений: =( )
3) Промежуток возрастания: ( ) 3) Промежуток возрастания: нет
4) Промежуток убывания: нет 4) Промежуток убывания:( )
5) Нули функции: x=1 5) Нули функции: x=1

6) Тригонометрическая функция 7) Тригонометрическая функция

1) Область определения: =( ) 1) Область определения: =( )
2) Область значений: =[ ] 2) Область значений: =[ ]
3) Промежутки возрастания:[ ] 3) Промежутки возрастания: [ ]
4) Промежутки убывания: [ ] 4) Промежутки убывания: [ ]
5) Нули функции: , где 5) Нули функции:

Способы задания функции: аналитический, графический, табличный

1.Табличный- применение: бухгалтерия, банковское делопроизводство

Одна переменная принимается за независимую, а остальные будут являться функциями этого аргумента

2. графический: соответствие между аргументом и функцией задается с помощью графика.

3. аналитический: этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул.

11. Ограниченность функции:

1) Функция, ограниченная снизу y= f ( x ), называется ограниченной снизу, если существует такое число а , что для любого значения x D(f) справедливо неравенство f(x)>a

2)Функция, ограниченная сверху y= f ( x ),называется ограниченной сверху, если существует такое число b , что для любого значения x D(f) справедливо неравенство f(x)<b

3)Функция, неограниченная сверху y= f ( x ), называется неограниченной сверху, если для любого М найдется такое значение аргумента х из Х, для которого значение функции окажется больше этого числа. f ( x) > M

4)Функция, неограниченная снизу y=f(x), называется неограниченной снизу, если для любого m найдется такое значение x из X, для которого значение функции окажется меньше этого числа.

5)Функция называется ограниченной, если она одновременно является и ограниченной снизу, и ограниченной сверху.

Монотонность функции:

1)Функция называется возрастающей на некотором интервале I D(f), если для любых x1, x2 I, удовлетворяющих неравенству x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2). Пример возрастающей на интервале функции

2)Функция называется убывающей на некотором интервале I D(f), если для любых x1, x2 I, удовлетворяющих неравенству x1<x2, выполняется неравенство f(x1)>f(x2).

3)Если функция является возрастающей или убывающей на интервале I, то она называется монотонной на этом интервале, а I называют интервалом монотонности функции.

12. Предел функции в бесконечности:

Число А называется пределом функции у=f(х) при х стремящемся к бесконечности если для любого сколь угодно малого числа эпсила (Е) больше нуля найдется такое число S больше нуля, зависящее от число Е, такое что выполнялось бы неравенство для всех Х |F(x)-A|<E

Предел функции в точке:

Число А называется пределом функции у=f(х) при х стремящемся к Х0 если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число S,зависящее от Е, что для всех Х отличных от Х0 выполнялось неравенстве |F(х)А|<Е

Правила вычисления пределов

lim (f(x) + g(x)- h(x)) = limf(x) + lim g(x)- limh(x)

13. Функция f(x) называется непрерывной функцией в точке A, если существует предел данной функции при аргументе стремящимся к A

Другими словами, для любого сколь угодно малого числа эпсилон, существует такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функции в данных точках будет сколь угодно мало.

Функция непрерывнана множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций;

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то в этой точке непрерывны

f(x) ± g(x), f(x) · g(x),

Непрерывность сложной функции:

Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

14. Точку В из области определения функции будем называтьточкой разрыва функции, если функция не является непрерывной в точке B.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

Эти односторонние пределы конечны.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).

Следствие

Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок.