Нормальный закон распределения вероятностей. Плотность вероятности, математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение.

 

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

М=

D(X)=сигма^2

Сигма=корень из D(X)

 

 

Билет 35

Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал. (2)Правило трех сигм, ее численная реализация.

(1)Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал (a, b) воспользуемся функцией Лапласа:

Перейдем к стандартной нормальной случайной величине

Тогда

 

 

(2) Правило трех сигм

 

Преобразуем формулу

 

 

Введем обозначение

 

 

Тогда получим:

 

 

Если t=3, то

 

 

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

 

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

 

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

 

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

 

(Насчет численного значения не уверена)

 

Билет 36.

Показательное распределение. Плотность, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия. Численная реакция правила трех сигм.

 

Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения

Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

 

Численная реакция правила трех сигм в билете 35