![]() |
![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Основные правила Дифференцирования.
1. (u ± v)/ = u/ ± v/; 2. (C·u)/ = C·u/ (C = const); 3. (u·v)/ = u/·v + u·v/; 4.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
32.Понятие дифференцируемой функции.Критерийдифференцируемости.Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции. Критерий дифференцируемости: пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, b) и Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке. При этом
где (x) - бесконечно малая функция, при x0. 33.Дифференциал функции,его геометрический смысл.Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции.Свойства дифференциалов. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в т. х0,тогда её приращение в этой точке можно записать ввиде: Первое слагаемое в правой части данного равенства линейное относительно Дифференциалом функции у=f(x) в т. х0 называют главную часть приращения этой функции в т.х0. dy-дифференциал В качестве dy аргумента можно выбрать любое число(функцию) не зависящую от Х.dx= Свойства инвариантности(неизменчивости) формы 1-го дифференциала. Пусть функция y=f(x) является дифференцируемой функцией,тогда её 1 дифференциал определяется по формуле: dy= Х= Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной. Дифференциал постоянной равен нулю: Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const). Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const). Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной. Свойства дифференциалов Выражение производной через дифференциалы: Выражение дифференциала через производную: 1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала: 2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций 3. дифференциал произведения 4. дифференциал дроби (дифференциал частного) 5. дифференциал сложной функции 34.Производные и дифференциалы высших порядков,ихсвойства.Механический смысл второй производной. Пусть функция f(x) является дифференцируемой функцией и = y``,f``(x),
Точно так же может быть определенн дифференциал 1-го порядка,т.е. Диф. 2-го порядка есть диф. От 1-го порядка: Аналогично дифференциал n-ого порядка Механический смысл первой производной Если S=S(t)-закон прямолинейного движения материальной точки, то производная S/ (t) выражает значение скорости движения точки в момент времени t( мгновенную скорость). V(t)= S/ (t). Механический смысл второй производной. Если S=S(t)-закон прямолинейного движения материальной точки, то вторая производная S/ / (t) выражает значение изменения скорости этого движения, т.е. значение ускорения будет составлять а(t)= S/ / (t). |