Четырехугольники. Квадрат, прямоугольник их свойства.

Структура теоремы. Виды теорем.

Структура теорем:

-условие (что дано)

-заключение (что доказать)

-разъяснительная часть (обычно явно не присутствует, а подразумевается)

Теорема- это математическое предположение, истинность которого установлена посредством рассуждений.

А(х) => В(х)

Условие заключение

А) Обратная данной

В(х) => А(х)

Б) Противоположная данной

А(х) => В(х)

В) обратая противоположной

В(х) => А(х)

Способы математических доказательств. Математические понятия. Объем и содержание понятия.

Треугольник. Виды треугольника. Основные свойства.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник (по угл)

Прямоугольный остроугольный тупоугольный

Треугольник (по стор)

Разносторонний Равнобедренный Равносторонний

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним: BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

Четырехугольники. Квадрат, прямоугольник их свойства.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

1. Противоположные стороны прямоугольника равны: AB=CD BC=AD.

2. Каждый угол прямоугольника равен 90°.

Это значит, что противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам: BO=OD AO=OC.

А также BO=OD=AO=OC (см. шестое свойство, присущее только прямоугольнику).

4. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

5. Накрест лежащие углы при диагонали равны.

Свойство, присущее только прямоугольнику

6. Диагонали прямоугольника равны: BD=AC

Квадратомназывается прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата: Квадрату присущи все свойства параллелограмма. Квадрат можно считать ромбом с прямыми углами или прямоугольником с равными сторонами, поэтому квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

1. Все стороны квадрата равны: AB=BC=CD=AD.

2. Каждый из углов квадрата равен 90°.

3. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам: BD=AC; BO=OD=AO=OC.

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны: BDAC.

5. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов: ABD=DBC=BCA=...=45°.

6. Диагонали квадрата делят его на четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника.

26. Параллелограмм, ромб их свойства.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

AB=DC, BC=AD

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

A=C, B=D

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

BO=OD, AO=OC

4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам: A+D=180°

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

BAC=ACD, BCA=CAD

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

1. Противоположные стороны ромба равны: AB=BC=CD=AD (т.к. все стороны равны).

2. Противоположные углы ромба равны: A=C B=D.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам: BO=OD AO=OC.

4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°: A+D=180°.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: ACBD.

6. Диагонали ромба являются также биссектрисами его углов (делят углы ромба пополам).

7. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Треугольники ABO, СBO, CDO, ADO — равные прямоугольные треугольники.