Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Док-во

Докажем эту теорему для случая суммы двух несовм соб и . Пусть соб благоприятствуют элементарных исходов, а событию - исходов. Так как соб и по условию несовместны, то соб + благоприятствуют + элементарных исходов из общего числа n-исходов =>

P( + )= = + =P( , где P( – вероябтность события ; - вероятн соб .

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема:Два соб наз совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Док-во

Событие А+В наступит, если наступат одно из трех несовместных событий А , В, АВ. По теореме сложения вероятностей несовм соб имеем Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (1)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовм соб: А , АВ. Вновь применяя теоремы сложения вероятн несовм соб, получим Р(А)=Р(А )+Р(АВ) (2)

Откуда Р(А )=Р(А)-Р(АВ) (3) Р(В)=Р( В)+Р(АВ) (4)
Ан-но для второго события. Откуда: Р( В)=Р(В)-Р(АВ) (5)

Подставив 3 и 4 в 5, получим: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Теорема умножения вероятностей для двух произвольных событий

Теорема:Вероятность произведения двух соб равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. Р(АВ)=Р(А)Р( )=Р(В)Р( )

Док-во

Предположим, что из n всевозможных элементарн исходов событию А благоприятствуют m исходов, из которых k исходов благоприятствуют соб В. Тогда вероятность соб А будет Р(А)= , условная вероятность соб В относительно соб А будет Р( )= . Произведению событий А и В благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и соб А и событию В одновременно, то есть k исходов. Поэтому вероятность произведения соб А и В равна: Р(АВ)= .

Умножим числитель и знаменатель дроби на m. Получим: Р(АВ)= =Р(А)Р( )

Ан-но док и формула: Р(АВ)=Р(В)Р( )

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Теорема:Теорема произведения конечного числа событий равна произведению их условий вероятностей относительно произведения предшествующих событий.

Так как события независимые, то верно равенство: (В)=Р(В) => Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Формула полной вероятности

Предположим, что событие В может осуществляться только с одним из несовместных событий .

P(B)=

Формула Байеса

Пусть событие В происходит одновременно с одним из n несовместных событий .Требуется найти вероятность события , если известно, что событие В произошло. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать:

P( B)= =>

Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное возможное значение, за ранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. Примеры: размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды.

Два типа: дискретные и непрерывные.

Дискретной наз случ величина, кринимающая конечное или бесконечное счетное множ знач. Например: частота попаданий при трех выстрелах, число брака в партии изделий.

Законом распределения случайной величины наз всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными знач случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать: таблично, аналитически и графически.

Числовые характеристики дискретной случайной величины:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины наз сумма произведений ее возможных знач не соответствующие им вероятности М(х)=

Свойства:

Мат ожид постоянной равно самой постоянной: М(с)=с

Постоянный множ можно выносить за знак мат ожид: М(сх)=сМ(х)

Мат ожид произведения двух независимых случ величин равно произведению их мат ожид: М(ху)=М(х)М(у)

Мат ожид суммы двух случ величин (зависимых или независимых) равно сумме мат ожид слагаемых: М(х+у)=М(х)+М(у)

Дисперсией (рассеянием) случайной величины наз мат ожид квадрата ее отклонения от ее мат ожид: D(x)=M(x-M(x)

Свойства:

Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(с)=0

Постоянный множ можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(cx)= D(x)

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x+y)=D(x)+D(y)

Дисперсия разности двух независимых случ величин равна сумме их дисперсий: D(x-y)=D(x)+D(y)

Биноминальное распределение – это распр вероятностей возможных чисел появления соб А при n независимых испытаниях, в каждом из которых соб А можно осущ с одной и той же вероятностью P(A)=p=const. Кроме события А может произойти также противоположное событие , вероятность которого Р( =1-р=q

Непрерывной наз величина, множ знач которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток.

Функция распределения – функ, характ распределению случ величины или случ вектора.

Свойства:

Не убывает: если < , то

Существуют пределы и

В любой точке непрерывна слева

Плотность вероятности – один из способов задания вероятностей меры на евклидовом пространстве

Свойства:

Плотность вероятности определена почти всюду. Если f явл плотностью вероятн Р и f(x)=g(x) почти всюду.

Интеграл от плотности по всему пространству равен единице

Числовые характ непрерывных случ величин:

Мат ожид непрерывной случ величины х, возможные знач которой принадлежат отрезку [a;b] наз определенный интеграл.

Нормальное распределение (распр Гаусса) – распределение вероятностей, которое задается функ плотности распр.

Правило трех сигм:

Пусть имеется нормально распределенная случ величина Е с мат ожид, равным а и дисперсией . Опред вероятность попадания Е в интервал (а-3 ; а+3 ), то есть вероятность того, что Е принимает знач, отличное от мат ожид не более, чем на три среднеквадр отклонения.

Выборочный метод

Основу статистического исследования составляет множ данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Реально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случ величины х, явл выборкой, а гипотетически сущ (домысливаемая) – генеральной совокупностью.

Репрезентативная выборка – это выборка из генеральной совокупности с рапсред F(x), представляющая основные особенности ген совокупности.

Ряд знач признака, или вариант, полученных вследствие массового обследования однородных вещей и явлений, размещенных в порядке возрастания или убывания их величин, вместе с соответствующими частотами наз вариационным рядом. Если в вар ряде знач признака заданы в виде отдельных чисел, то такой ряд наз дискретным. Если в вар ряде знач признака заданы в виде интервалов, то такой ряд наз интервальным.

Полигоном частот наз ломаную линию, отрезки которой соединяют точки ( ; ), ( ; ),…, ( ; ). Для построения полигона частот на оси обсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки ( ; ) отрезками прямых.

В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в кот заключены все наблюдаемые знач признака разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала - сумму частот вариант, попавших в i-интервал.

Гистограммой частот наз ступенчатую фигуру, сост из прямоуг, основаниями которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте . Площадь i-ого прямоуг равна = – сумма частот вариант i-ого интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объемы выборки.

Накопленная относительная частота – отношение накопленных частот к объему совокупности данных.

Эмпирической функцией распред наз функ F(x), определяющую каждого знач х относительную частоты события х. F(x)= , где - число вариант, меньше х; n – объем выборки.

Кумулят – служит для графического кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают знач аргумента, а на оси ординат накопленные частоты или накопленные относит частоты. Масштаб – произвольный. Далее строят точки: на оси абсцисс откладываются знач равные вариантам или верхним границам интервалов, а на оси ординат знач соответствующие частотам. Точки соединяют отрезками. Получ ломаная явл кумулятой.