ТЕМА 7. Основные теоремы дифференциального исчисления. Применение производной для исследования функций.

2Функция y=f(x) имеет в точке х₀ максимум, если

* ,

2Условием выпуклости кривой y=f(x) в интервале ( , b) является

2Условием вогнутости кривой y=f(x) в интервале ( , b) является

2Функция в точке имеет минимум, если

* ,

2Функция имеет в точке максимум, если для всех x из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

2Функция имеет в точке минимум, если для всех x из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

2Если функция y=f(x) во внутренней точке области определения дифференцируема и достигает в точке наибольшего и наименьшего значения, то производная функции в этой точке

не существует

2Критическими точками функции f(x) на экстремум, называются точки, в которых для функции f(x) выполняется условие

2Если на отрезке для функции f(x) выполняются все условия теоремы Ролля, то на дуге AB найдется точка, в которой касательная к графику

проходит через начало координат

параллельна оси ординат

перпендикулярна оси абсцисс

* параллельна оси абсцисс

2Из теоремы Лангранжа следует, что в интервале (a;b) найдется точка c такая, что

2К функциям f(x) и g(x) теорема Коши применима, если

f(x) и g(x) непрерывны на (a;b) и дифференцируемы на (a;b)

f(x) и g(x) непрерывны на и в интервале (a;b)

* f(x) и g(x) непрерывны на , дифференцируемы на (a;b) и в интервале (a;b)

f(x) и g(x) непрерывны на (a;b), дифференцируемы на (a;b) и в интервале (a;b)

2Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке , дифференцируемы на (a;b) и в интервале (a;b), то, согласно теореме Коши, в интервале (a;b) найдется точка с такая, что

2Правило Лопиталя применяется к неопределенностям вида

2Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в ,дифференцируемы в , причем , и ; существует конечный или бесконечный предел , то

2Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке[1;2]

нет, y=f(x) разрывна на отрезке [1;2]

да, с=1

нет, y=f(x) не дифференцируема в интервале (1;2)

нет,
2Применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке [0;2]

нет, функция f(x) разрывна на [0;2]

*да,

нет, функция f(x) недифференцируема в (0;2)

нет,

2Применима ли теорема Коши к функциям и на отрезке [0;2]

да,

нет,

*нет, функция g(x) не определена при

нет, функция f(x) недифференцируема на (0;2)

2Пусть функция y=f(x) дифференцируема в интервале (a;b) , то для того, чтобы f(x) была возрастающей в (a;b) необходимо и достаточно, чтобы для всех выполнялось

2Пусть функция y=f(x) дифференцируема в интервале (a;b) , то для того, чтобы f(x) была убывающей в (a;b) необходимо и достаточно, чтобы для всех выполнялось

2Дана функция , тогда

х=0 является точкой минимума функции f(x)

* является точкой минимума функции f(x)

функции f(x) не имеет экстремумов

является точкой максимума функции f(x)

2Функция

возрастает на

возрастает на (-2:2)

* возрастает на

возрастает на [-1;2]

2Функция

*убывает на (-2:2)

убывает на

убывает на [-¥;2)

убывает на

2Функция

выпукла на интервале

вогнута на интервале

*выпукла на интервале

вогнута на интервале (3;5)

2Пусть функция y=f(x) непрерывна в (a;b), - внутренняя точка этого промежутка и (или не существует), то

-обязательно точка минимума

- обязательно точка максимума

- обязательно точка перегиба

* в точке экстремум может существовать, а может и не существовать

2К функции y=f(x) на отрезке теорема Ролля применима, если

* f(x) непрерывна на , дифференцируема в (a;b) и f(a)=f(b)

f(x) непрерывна на и f(a)=f(b)

f(x) дифференцируема в (a;b)

f(x) непрерывна в (a;b), дифференцируема в (a;b) и f(a)=f(b)

2Изтеоремы Лагранжа следует, что

любая касательная к графику функции f(x) в (a;b) параллельна хорде, стягивающей концы дуги f(x) на отрезке

касательная к графику функции f(x) в (a;b) параллельна любой хорде в этом интервале

хорда, стягивающая конца дуги f(x) на , параллельна оси OY

*в интервале (a;b) найдется касательная, параллельная хорде, стягивающей концы дуги f(x) на отрезке

2Точка называется точкой перегиба графика f(x) с вертикальной касательной, если

2Точка называется точкой перегиба графика f(x) с наклонной касательной, если

2Точка называется точкой перегиба графика f(x) с горизонтальной касательной, если

* и

2Применима ли теорема Ролля к функции на отрезке [0;2]

да, с=2

нет, функция f(x) не определена при

нет, функция f(x) не дифференцируема в (0;2)

*нет,

2Применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке

[-1;0]

нет, функция f(x) разрывна на [-1;0]

*да,

нет, функция f(x) не дифференцируема в (-1;0)

нет,

2Точками перегиба функции являются

точки и

только точка х=0

*точки и

у функции нет точек перегиба

2Применима ли теорема Коши к функциям и на отрезке [0;3]

*нет, функция g(x) не дифференцируема в (0;3) и в (0;3)

да, с=3

нет, функция g(x) разрывна на [0;3]

нет, f(x) не дифференцируема в (0;3)