Решения и критерии оценивания заданий части 2

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант

Контрольных измерительных материалов единого

Государственного экзамена 2012 года

По математике

Подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Пояснения к демонстрационному варианту

Контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.

Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.

Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант

Контрольных измерительных материалов 2012 года

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

Часть 2

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

Решите систему неравенств

На стороне BA угла , равного , взята такая точка D, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Система оценивания демонстрационного варианта
контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Ответы к заданиям части 2

Задание	Ответ
С1	а) , , б)
С2
С3
С4	1 или 7
С5
С6	а) 44; б) отрицательных; в) 17

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.

а)Так как , , то .

Корни уравнения: ,

б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: , и .

Ответ:а) , ,

б) .

Другие решения пункта б).

б) Корни, принадлежащие промежутку , отберем по графику . Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке , абсцисса которой принадлежит промежутку .

Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат (см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно,

и .

В промежутке содержатся три корня: .

б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .

Пусть . Подставляя , получаем: . Промежутку принадлежат только .

Промежутку принадлежат корни: .

б) Отберем корни, принадлежащие промежутку .

Пусть Тогда . Корень, принадлежащий промежутку : .

Пусть .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

Пусть .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

Промежутку принадлежат корни: .

Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

Решение.

Обозначим середину ребра (см. рисунок). Так как треугольник равносторонний, а треугольник – равнобедренный, отрезки и перпендикулярны . Следовательно, – линейный угол двугранного угла с гранями и .

Из треугольника найдём: .

Из треугольника найдём: .

Из треугольника найдём:

Искомый угол равен .

Ответ: .

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) ;

Б) рад.

В) и т.п.

Возможны другие решения.Например, с использованием векторов или метода координат.

Решите систему неравенств

Решение.

1. Неравенство запишем в виде . Относительно неравенство имеет вид: , откуда получаем: , .

Значит, , .

2. Второе неравенство системы определено при
то есть при и .

При допустимых значениях переменной получаем: , , , , .

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: .

3. Сравним и . Так как , то

, следовательно, .

Решение системы неравенств: .

Ответ: .

Комментарий.Если обоснованно получены оба ответа: и , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что , то такое решение оценивается в 2 балла.

На стороне BA угла , равного , взята такая точка D, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Решение.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и находим, что PE = .

Так как OA = R и , получаем: , следовательно, .

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором , находим:

.

В результате получаем уравнение:

.

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R² – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R₁ = 1, R₂ = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.

Другое решение.

Пусть точка касания окружности с прямой лежит на луче (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

,

откуда .

Пусть – точка пересечения луча и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника находим:

, тогда и .

Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке , а окружность вторично – в точке . Тогда

Если – радиус окружности, то . По теореме о двух секущих , то есть , откуда находим, что .

Ответ: 1 или 7.

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Решение.

1. Функция имеет вид:

a) при : , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии ;

б) при : , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции показаны на рисунках:

Рис. 1   Рис. 3

Рис. 2   Рис. 4

2. Наименьшее значение функция может принять только в точках или , а если – то в точке .

3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда

.

Ответ:

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в_оценка) Подставим в правую часть равенства : , откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 17.

в_пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число и два раза написан 0. Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:а) 44; б) отрицательных; в) 17.