Кінематика коливального руху

x = A - рівняння гармонічного коливального руху,

x – зміщення тіла від положення рівноваги,

А – амплітуда, максимальне зміщення тіла від положення рівноваги,

- фаза коливання, задає положення тіла в будь який момент часу,

- початкова фаза, задає положення тіла в момент часу t = 0,

- циклічна частота,

Т – період коливання (час одного повного коливання, або час, за який фаза змінюється на 2 рад),

- лінійна частота, кількість коливань в одиницю часу, = 1/T,

V = dx/dt = A + ) – швидкість коливального руху,

a = d²x/dt² = -A ² + ) – прискорення коливального руху.

При складанні коливань однакового напрямку:

x₁ = A₁ + , x₂ = A₂ + ),

A_р = - амплітуда результуючого коли­вання.

tg = (A₁sin +A₂sin ) / (A₁cos +A₂cos ) - фаза результуючого коливання.

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємноперпендикулярних коливаннях з амплітудами А₁ та А₂ і початковими фазами та :

Динаміка коливального руху

Диференціальне рівняння гармонічних вільних коливань:

m ^.x^'' = - k ^. x, або x^''' + х = 0,

m – маса тіла,

k – коефіцієнт квазіпружної сили,

= k/m – власна частота гармонічних коливань.

Повна енергія: E = E_n + E_k = E_nmax = E_kmax

E_n = k ^. x²/2 = k ^. A^{2 .} sin²( )/2,

E_k = m ^. V²/2 = m ^. A^{2 . .} cos²( )/2,

E_nmax = k ^. A²/2 , E_kmax = m ^. A^{2 . 2}/2.

Періоди коливань:

пружинного маятника Т = 2 ^{. .} ,

математичного маятника Т = 2 ^{. .} ,

де – довжина математичного маятника,

фізичного маятника Т = 2 ^{. .}

де I – момент інерції маятника відносно його осі обертання,

m – маса тіла,

а – відстань від центра мас тіла до осі обертання маятника.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань:

m ^. x^'' = - k ^. x - r ^. , або x^'' + 2 ^{. .} + х = 0,

= r/2m – коефіцієнт загасання.

Рівняння загасаючих коливань:

x = A(t) ^. cos( t + ),

A(t) = А₀^. e ^- ,

А₀ - амплітуда в момент часу t = 0.

= ln = Т – логарифмічний декремент загасан­ня.

A(t) та A(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, які відстоять по часу одне від одного на період.

Диференціальне рівняння вимушених коливань:

m ^. x^'' = - k ^. x - r ^. + F₀^. cos t ,

або

x^'' + 2 ^{. .} + х = f₀^. cos t,

F₀ ^. cos t – зовнішня періодична сила, яка викликає вимушені коливання.

А = f₀/ - амплітуда вимушених коливань,

_рез = - резонансна частота,

А _рез = f₀/(2 ^{. .} ) – резонансна амплітуда.

Добротність Q = = /N_е,

N_е – число коливань за час, коли амплітуда зменшується в е разів.

- час релаксації (час, за який амплітуда зменшується в е разів).

Пружні хвилі

Процес розповсюдження коливань у суцільному середовищі називається хвильовим процесом або, хвилею.

Рівняння плоскої хвилі:

= A ^. cos (t - x/V) = A ^. cos( t - kx),

- зміщення точки середовища з координатою x в момент часу t,

- кругова частота,

V – швидкість розповсюдження коливань в середовищі (фазова швид­кість),

V = dx/dt = /k,

k = 2 - хвильове число,

= V ^. T - довжина хвилі,

D = 2 ^.Dx/ - різниця фаз коливань двох точок середовища, відс­тань між якими (різниця ходу) Dх.

Рівняння стоячої хвилі:

= A ^. cos( ^.x/V)^. cos t = A ^. coskx^. cos t

Фазова швидкість поздовжніх хвиль в пружних середовищах:

- в твердих тілах: V = ,

де Е – модуль Юнга, - густина речовини,

- в газах: V = = ,

- коефіцієнт Пуасона ( = С_p/С_v),

R – універсальна газова стала,

Т – температура,

- молярна маса газу,

Р – тиск.

Групова швидкість: U = d /dk – швидкість руху групи хвиль, утворюючих в кожний момент часу локалізований в просторі хвильовий пакет,

U = V - ^. dV/d - зв'язок між фазовою та груповою швидкостями.

Середня об'ємна густина енергії:

= ^{. .} A²/2,

Вектор Умова: ,

j = DФ/DS _| - густина потоку енергії,

DФ = DW/Dt – потік енергії,

DW – енергія хвилі,

DS _| - площина, перпендикулярна до напрямку розповсюдження хвилі.

Приклади розв'язку задач

Приклад 1. Точка виконує гармонічні коливання з частотою = 10 Гц. В момент, прийнятий за початковий, точка мала максимальне зміщення x_max = 1 мм. Написати рівняння коливань точки.

Розв'язок

Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = Аsin( t + ), (1.13)

де А – амплітуда,

- циклічна частота,

t - час,

- початкова фаза.

По визначенню амплітуда коливань:

А = x_max, (1.14)

= 2 (1.15)

Для моменту часу t = 0 формула (1.13) приймає вигляд:

x_max = Аsin , (1.16)

Звідки початкова фаза:

= arcsin(x_max/А) = arcsin1,

або

= (2k + 1) /2, (k = 0,1,2,3...).

Зміна фази на 2 не змінює стан точки, що коливається, тому можна прийняти:

= /2. (1.17)

З урахуванням рівнянь (1.14) - (1.17) рівняння коливань приймає вигляд:

x = 10^-3 sin(20 t + /2), (м)

Приклад 2. Плоска хвиля розповсюджується зі швидкістю V = 20 м/с. Дві точки знаходяться на відстанях х₁ = 12м та х₂ = 15м від джерела коливань, коливаються з різницею фаз = 0,75 рад. Знайти довжину хвилі , написати рівняння хвилі та знайти зміщення вказаних точок в момент часу t = 1,2с, якщо амплітуда коливань А = 0,1м.

Розв'язок

Точки, що знаходяться одна від одної на відстані довжини хвилі , коливаються з різницею фаз 2 ; точки, що знаходяться одна від одної на довільній відстані х, коливаються з різницею фаз, що дорівнює:

= Dх ^. / = (х₂ - х₁) ^. / , (1.18)

звідки

= (х₂- х₁) / . (1.19)

= (15 - 12)/0,75 = 8м.

Циклічна частота = /Т, Т = /V, отже:

= 2 V/

= 2 ^.20/8 = 5 с^-1

Знаючи амплітуду А, циклічну частоту та швидкість розповсюдження хвилі V, записуємо рівняння плоскої хвилі:

y = 0,1 cos5 (t - x/20), (м) (1.20)

Щоб знайти зміщення вказаних точок, підставляємо в рівняння (1.20) значення t та x:

y₁ = 0,1cos5 (1,2 - 12/20) = 0,1cos3 = - 0,1м,

y₂ = 0,1cos5 (1,2 - 15/20) = 0,1cos2,25 = 0,071м.

Приклад 3. Період загасаючих коливань Т = 4с, логарифмічний декремент загасання = 1,6; початкова фаза = 0. При t = Т/4 змі­ще­н­ня точки х = 4,5 см. Написати рівняння цього коливального руху.

Розв'язок

Рівняння загасаючих коливань має вигляд:

x = А₀ sin( t + ), (1.21)

В нашому випадку = 2 /Т = /2, = 0, = /Т = 1,6/4 = 0,4 с^-1.

Амплітуду А₀ знайдемо, підставивши в (1) х = 4,5см, t = Т/4 = 1с, а також = 0,4 с^-1, = /2 та = 0.

4,5 = А₀ ^-0,4 sin /2 = А₀ ^-0,4,

А₀ = 4,5/ ^-0,4 = 6,7см.

Таким чином рівняння (1.21) приймає вигляд:

x = 6,7 ^-0,4t sin t /2 см.

Приклад 4. Тіло масою 10 г здійснює загасаючі коливання. По­чаткова амплітуда А₀ = 7 см, початкова фаза = 0, коефіцієнт загасан­ня = 1,6 с^-1. Під дією зовнішньої періодичної сили F встановлюють­ся ви­мушені коливання x = 5 sin(10 t - 3 /4) см. Знайти рівняння власних коливань та зовнішньої періодичної сили.

Розв'язок

Рівняння власних коливань має вигляд:

x = А₀ sin t,

Зсув по фазі між власними та вимушеними коливаннями за умо­вою дорівнює - 3 /4, отже

tg = ^. /( - ) = tg(- 3 /4) = 1,

звідки

= ,

оскільки

= 10 , а = 1,6 с^-1, то = 10,5 .

Тоді рівняння власних коливань має вигляд:

x = 7 ^-1,6t sin10,5 t, см.

Рівняння зовнішньої періодичної сили має вигляд:

F = F₀ sin t,

де

F₀ = A^.m = 72^.10^-3 Н = 72 мН.

Тоді рівняння зовнішньої періодичної сили буде мати вигляд:

F = 72 sin10 t, мН.