Знайти числові характеристики .
Розв’язання:
Скористуємося формулою: 
.
Враховуя,що f(t)=0 при t<0 і f(t)= 
при 
,отримаємо
М(Х)= 
Інтегруючи по частинах по формулі: 
Положив u=t,dv= 
dt,звідси du=dt, v=1/0,5* , виконавши викладення, остаточно одержимо
М(Х)= 
Знайдемо дисперсію. Скористуємося формулою:
.Враховуя,що f(t)=0 при t<0, М(Х)= 
,отримаємо 
.
Інтегруючи двічі по частинах знайдемо
. Отже, шукана дисперсія D(X)= 
Відповідь: М(Х)=2;D(X)=4
25.Знайти розв’язок задачі Коші 
Розв’язання:
Складемо характеристичне рівняння k2-3k+2=0 і знайдемо його корені
k2-3k+2=0
Д=9-8=1
Х1= 
Х2= 
Х1=2;Х2=1
Загальний розв’язок рівняння має вигляд
у=С1е2х+С2ех.
Скористаємось початковими умовами. Оскільки
у’=2С1+С2,то
;
Звідки С1=1; С2=-1
Знаходимо шуканий розв’язок: у= е2х- ех
Відповідь:у= е2х-ех
26.Знайти числові характеристики випадкової величини Х,яка рівномірно розподілена в інтервалі (3,9)
Розв’язання:
Рівномірним називають розподіл ймовірностей непереривної величини х,якщо на інтервалі (а,б),котрому належать всі значення х, щільність зберігає постійне значення f(х)=1/(а+б).
Числовими характеристиками випадкової величини є математичне сподівання,дисперсія і середне квадратичне відхилення випадкової величини.
Знайдемо математичне сподівання випадкової величини:
М(х)=(3+9)2=6
Знайдемо дисперсію випадкової змінної використовуючи формулу:
Д(х)=М(х2)-М2(х)
М(х2)= 
Д(х)= 
Д(х)=(9-3)2/12=3
Середне квадратичне відхилення випадкової величини дорівнює квадратичному кореню з дисперсії
Відповідь: М(х)=6; Д(х)=3;(х)=1,73
Знайти площу фігури, яка обмежена лініями , .
Розв’язання:
По формулі S= 
маємо S= 
y
y=x2x=y2
A(1,1)
x
O(0,0)
Дано точки А(-1;5;0),В(2;;4),С(1;0;-4).При якому значенні вектори АВ та АС перпендикулярні?
Розв’язання:
Із правила скалярного добутку векторів 
= 
cos,слідує, що якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Знайдемо вектори 
та 
.Щоб знайти координати вектора заданими координатами початку і кінця, треба у координат кінця відняти координати початку.
= 
=(3;-5;4)
=(2;-5;-4)
По правилу скалярного добутку знайдемо: * =6-5(-5)-16.Звідси дорівнює:
6-5(-5)-16=0
6-5+25-16=0
-5=-15
=3
Перевіряємо: =(3;-2;4); =(2;-5;-4)
* =6+10-16=0
Відповідь: =3
Дано точки А(-1;5),В(2;4),С(0;-4).Записати рівняння прямої, яка проходить через точку А перпендикулярно ВС.
Розв’язання:
Рівняння площини, яка проходить через точку Мо(хо;уо;zo) перпендикулярно до вектора 
=(А;В;С) є А(х-хо)+В(у-уо)+С(z- zo)=0
Знайдемо вектор 
. Щоб знайти координати вектора заданими координатами початку і кінця, треба у координат кінця відняти координати початку.
=(-2:-8)
Тоді, виходячи з формули, знаходимо шукане рівняння:
-2(х+1)-8(у-5)=0
-2х-8х+38=0
Відповідь: -2х-8х+38=0
Знайти фінальний розподіл
Ймовірностей станів Марковського
Ланцюга з дискретним часом, граф
Якого має вигляд
Розв’язання:
Р12= 
Р12= 
* 
= 
Р13= * 
Р14= * 
Р15= * 
Таким чином, фінальний розподіл
ймовірностей станів Марковського
ланцюга з дискретним часом
дорівнює 
Відповідь: