Линейные уравнения и граничные задачи при ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде

Экспериментально установлен линейный закон фильтрации Дарси

,

(2.30)

В проекциях на оси декартовой системы координат

,

где называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.

Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В практике принято проницаемость измерять в мкм². Среда имеет проницаемость 1 мкм² если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10^{-4 м2} расход жидкости, вязкость которой 10^-3 Па^.с, составляет 10^-6 м³/с, т. е. 1мкм² = 10^{-12 м2}.

Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.

Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость

,

а Козени получил

.

Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.

Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения

,

неразрывности движения или сохранения массы

,

и механического состояния

,

в которых отброшены силы инерции , а сумма сил заменена силами трения Ньютона . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).

Имеем симметричный девиатор напряжений

Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.

(2.31)

где , и – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении ; и – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что .

К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного , заполнения элементарного объема сплошной среды принимает вид

.

(2.32)

Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций , , и . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины и много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное классическое уравнение теории фильтрации

,

(2.33)

где – коэффициент пьезопроводности среды; – приведенный модуль объемной упругости среды; – оператор Лапласа. Пьезопроводность имеет размерность м²/с.

Если , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При имеем уравнение Лапласа

,

(2.34)

которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при , т. е. при установившемся режиме фильтрации.

Для однозначного определения поля давления в заданной области , ограниченной поверхностью , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при )

при

(2.35)

и при граничным условиям:

если на поверхности (или ее части) задано давление , то

при ,

(2.36)

если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то

,

(2.37)

если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то

,

(2.38)

где – характерный линейный размер; – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».

Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.

НРМ-10-09-03-2012

2. Для анизотропной среды, когда проницаемость зависит от направления, имеет место обобщенный закон Дарси

,

(2.39)

где – тензор проницаемости.

Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде

,

(2.40)

где – проницаемости вдоль главных осей анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле

.

(2.41)

Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации

.

(2.42)

Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).

Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:

для пространства

для плоскости

(2.43)

где – новые координаты.

Это означает геометрическое преобразование анизотропной области в некоторую изотропную область , проницаемость которой

(2.44)

При этом граница области преобразуется в границу области . Например, область, ограниченная окружностью

,

(2.45)

преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом

.

(2.46)

или в параметрическом виде

.

где , - полуоси элипса

Для области имеем уравнение Лапласа

,

решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).

3. При изучении закономерностей фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах горная порода рассматривается как сплошная однородная и изотропная среда, в любой точке которой имеют место двойная пористость , проницаемость , скорость фильтрации и давление , связанные законом Дарси

(2.47)

и уравнениями неразрывности

(2.48)

где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;

.

(2.49)

– интенсивность перетока жидкости между этими системами; – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.

При этом пористости и являются функциями обоих давлений, т.е.

.

(2.50)

Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:

а) объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять ;

б) изменение пористости происходит в основном за счет изменения порового давления и поэтому при небольших изменениях этого давления

;

(2.51)

в) проницаемость , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь ;

г) жидкость слабосжимаема так что

,

(2.52)

где или в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;

д) вязкость жидкости .

Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.

В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид

.

Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим

,

(2.53)

где – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; – своеобразная пьезопроводность среды.

Параметр имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10^-1 до 10⁶ м².

Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению

,

(2.54)

где – параметр, называемый временем запаздывания.

Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр . В пределе, когда , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.

При жестком режиме фильтрации или при установившейся фильтрации уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).

Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при .

Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – или .

Если начальные условия и удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление .

В противном случае задачу следует решать относительно давления . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.

Если начальное распределение давления согласовано с граничными условиями вида

,

(2.55)

при , то в таком виде граничная задача и рассматривается.

Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое , где – невязка существующего граничного условия:

(2.56)

Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений и .

После решения граничной задачи относительно порового давления распределение давления в трещинах определяется по формуле а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле

4. Приизучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.

Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости во времени и представляют это уравнение в виде

.

(2.57)

К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа

и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси

,

(2.58)

где в общем случае ; - температура.

В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре с вязкостью µ=const и плотностью

,

(2.59)

где - постоянные величины.

Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа

,

(2.60)

которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.

Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на , а правую – на некоторое характерное давление , например давление в невозмущенной части пласта.

Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение

,

(2.61)

которое аналогично уравнению (2.33), где . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них на , на .

5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.

Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:

а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);

б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);

в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).

Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации

,

(2.62)

а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом

(2.63)

где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова, ; - эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.

В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации

,

(2.64)

,

(2.65)

которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели; - характерное значение градиента давления; - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).

Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации

§ 6. МГНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ

1. На примере кратковременного осевого растяжения (сжатия) цилиндрического образца легко проследить характерные мгновенные свойства твердых тел. На рис. 12 показан общий вид деформационной кривой напряжение – деформация ( ). Эту кривую условно разбивают на следующие характерные участки:

ОА – участок упругих деформаций, где материал подчиняется линейному закону Гука

(2.66)

с коэффициентом пропорциональности Е, называемым модулем упругости, или модулем Юнга;

АВ – участок пластического течения (или текучести), характеризуемым нарастанием деформации или неизменном напряжении , которое называется пределом упругости или пределом текучести;

ВС – участок упрочнения, где нелинейная зависимость между напряжением и деформацией по аналогии с уравнение (2.56) представима в форме

(2.67)

с коэффициентом , называемым модулем пластичности;

СD – участок разрушения, напряжение называется пределом прочности;

LM – участок разгрузки или повторной нагрузки.

Рис.12. Общий вид деформационной кривой

Если точка L расположена выше точки А, то при полной разгрузке исчезает накопленная упругая деформация и сохраняется деформация пластическая . При повторном нагружении образца его диаграмма мало отличается от кривой MLC, т.е. материал в результате первоначального нагружения выше как бы приобретает дополнительные упругие свойства и повышает предел упругости ; это явление называется упрочнением.

Функцию удобно задавать в аналитической форме, при выборе которой необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах.

Экспериментально установлено, что степенной закон

(2.68)

является часто наиболее приемлемым, где К и т – константы материала при испытаниях в заданных условиях.

Рис. 13. Деформационные кривые сухой глины

(1, 2, 3 – соответственно при = 92, 29,13 МПа

В качестве примера на рис.13 показаны диаграммы , построенные для высушенной на воздухе глины при нескольких значения всестороннего давления , в табл. 1 – результаты обработки этих диаграмм.

Таблица 1

, МПа	Е, 103, МПа	, МПа	, МПа	K, МПа	m	, %
					0,4
	1,1				0,4
					0,4

( - общая деформация до разрушения)

Параметры K и т определялись следующим образом. Кривые на рис. 13 перестраивались в логарифмических координатах , и после сравнения полученной прямой с зависимостью определялись искомые параметры.

При осевом нагружении цилиндрического образца изменяется и его поперечный размер, определяемый деформацией .

Величина v, равная отношению абсолютных значений поперечной деформации к продольной в упругой области при осевом нагружении образца, называется коэффициентом Пуассона.

Способность твердых тел сжиматься (уплотняться) или расширяться (разуплотняться) устанавливается диаграммой всестороннее давление – объемная деформация . Экспериментально установлено, что в широком диапазоне давлений зависимость можно принимать в виде

(2.69)

где - модуль объемного сжатия или расширения в зависимости от вида нагружения.

Определение модуля эквивалентно определению коэффициента Пуассона v, так как они связаны зависимостью

. (2.70)

Отсюда, в частности, следует, что для реальных тел коэффициент Пуассона не может превосходить значения 0,5, т.е. 0 < v < 0,5.

Если для какого-либо тела можно принять v = 0,5, то такое идеальное тело принято называть несжимаемым, так как согласно (2.70), .

Рис. 14. Возможные виды деформационных кривых и соответствующие им формы разрушений для образцов горных пород

Деформационная кривая может иметь разнообразный вид в зависимости от свойств материала и внешних условий. По этой кривой находят не только основные механические параметры тела, но и устанавливают определяющее его свойство – меру пластичности. Существуют различные классификации тел. Рекомендуется, например, следующая, довольно полная классификация горных пород [Справочник физических констант горных пород под редакцией С. Кларка]:

а) очень хрупкая (рис.14, кривая 1), когда деформация, по существу, упругая до внезапного разрыва, характеризуемого образованием трещин отрыва перпендикулярно к наименьшему главному напряжению; накопленная при этом деформация не выше 1%;

б) хрупкая (кривая 2), когда наблюдается малая пластическая деформация до разрыва и образуются трещины отрыва и скола; накопленная деформация составляет 1 – 5%;

в) умеренно хрупкая (кривая 3), когда поведение промежуточное между хрупким и текучим, пик обозначает нарушение без общей потери связности, а разрушение происходит в результате образования трещин скола; накопленная деформация составляет 2 – 8%;

г) умеренно пластическая (кривая 4), когда разрушение сопровождается рассеянной деформацией, а накопленная деформация составляет 5 – 10%;

д) идеально пластическая (кривая 5), когда хорошо выражен предел текучести, сменяющийся постоянным однородным течением; деформация до разрыва более 10%;

е) пластическая с упрочнением (кривая 6), когда предел текучести может быть плохо выражен и процесс сопровождается работой упрочнения; деформация до разрыва более 10%.

Принадлежность горной породы к одному из приведенных типов определяет расчетную математическую модель и предельное состояние. В принципе, этой классификацией можно пользоваться при изучении любого твердого тела.

Среднестатистические значения опытных величин , соответствующие различным видам (сжатие, растяжение, изгиб, сдвиг) и условиям (температура, давление, влажность, скорости нагружения и др.) испытаний, принимаются в качестве основных механических параметров при кратковременных нагружениях изотропных твердых тел. Важной задачей экспериментального исследования является установление аналитической зависимости этих параметров от указанных факторов.

Многочисленными испытаниями установлено, что рост всестороннего давления и скорости деформирования способствует увеличение параметров и и переходу от хрупкого поведения к пластическом, а рост температуры и влажности, снижая предел текучести, препятствует образованию трещин и усиливает текучесть без заметного изменения формы деформационной кривой . Особое значение эти зависимости имеют для горных пород.

В практике инженерных расчетов чаще других используется следующая эмпирическая зависимость предельного значения ( или ) от среднего нормального напряжения , предложенная Э. Хоеком:

, (2.71)

где с – значение при ; a, b – константы, являющиеся функциями температуры, влажности и др.

При с = 0 получится зависимость, впервые предложенная Д. Франклином.

Для многих горных пород хорошей аппроксимацией может оказаться линейная зависимость, называемая критерием Мора,

(2.72)

Примером влияния влажности W на механическую прочность пород может служит понтическая глина. Для этой глины линейная аппроксимация (2.72) вполне приемлема до давления =50 МПа, а зависимость параметров с и а от влажности показана ниже.

Инженерные расчеты удобно проводить, когда зависимость параметров с, а, b, равно как и K и т в формуле (2.68), от температуры и влажности принята в аналитической форме. Однако таких общепринятых норм в литературе не предложено. Поэтому необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах с требуемой точностью. Например, в формуле (2.68) часто бывает удобным фиксировать показатель т, а коэффициент K считать линейной функцией, или экспонентой.

2. При сложно-напряженном состоянии упругое деформирование изотропных тел описывается общими уравнениями состояния, называемыми обобщенным законом Гука:

(2.73)

т.е. компоненты девиаторов напряжений и деформаций, среднее нормальное напряжение и относительное изменение объема пропорциональны или в эквивалентной форме:

(2.74)

т.е. компоненты тензора напряжений суть линейные функции компонент тензора деформаций и обратно:

(2.75)

где - модуль сдвига; - коэффициент Ламе. Характерно, что коэффициенты пропорциональности в этих общих уравнения определяют параметрами, получаемым при простых видах нагружения.

На основании уравнений (2.73) и формул (1.21), (1.40) выведено полезное соотношение

, (2.73^/)

т.е. интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна интенсивности деформаций сдвига Г.

Более сложными уравнениями описывается неупругая деформация. В приложениях обычно пользуются упрощенными теориями пластичности.

Наиболее широкое применение получили уравнения состояния деформационной теории пластичности

(2.76)

или в эквивалентной форме

, (2.77)

и обратная зависимость

, (2.78)

которые являются простым обобщением уравнений (2.73) – (2.75).

В уравнениях (2.76) – (2.78) функция g(Г) в силу соотношения и формулы (2.67) определяется по виду функции , например, подобно формуле (2.68):

.

Функция служит коэффициентом в обратном соотношении : например, для степенного закона (2.68)

,

где .

В случае несжимаемого тела (v = 0,5) уравнения состояния принимают вид

.

В состояния пластического течения (см. рис.12 участок АВ), например, при обобщенном критерии Губера – Мизеса, характеризующим переход к пластическим деформациям,

, (2.79)

в уравнениях (2.76) и (2.77) функцию g(Г) необходимо принять или , где - интенсивность напряжений [см. формулу (1.41)]. В этом случае нельзя однозначно определить компоненты деформации , подобно формуле (2.78), что вполне естественно, если обратить внимание на участок АВ (см. рис. 12), где нет взаимно однозначного соответствия между и .

3. Условие перехода какого-либо элемента нагруженного твердого тела в состояние хрупкого разрушения или пластического течения, когда в известной мере исчерпывается несущая способность, принято называть критерием прочности при кратковременном монотонном нагружении. При одноосном наряженном состоянии критерий прочности оценивается предельным, или опасным, значением напряжения; например, на рис. 12 это или . При переходе к сложному напряженному состоянию исходят из простейшего естественного предположения: уравнение предельного состояния не должно зависеть от выбора системы координат и должно содержать лишь инварианты, характеризующие напряженное состояние. Согласно выводам лекции 1.2, этими инвариантами будут T – интенсивность касательных напряжений; - среднее нормальное напряжение; - параметр Лоде – Надаи. Поэтому в общем случае критерий прочности определяется некоторой предельной поверхностью

Предложено много различных критериев прочности при сложно-напряженном состоянии изотропных тел. В инженерных расчетах чаще других применяют критерий Шлейхера – Надаи

, (2.80)

где вид функции в правой части устанавливается экспериментально по данным опытов для конкретных материалов.

В частности, при из (2.70) следует критерий Губера – Мизеса (2.79) или эквивалентный ему по форме энергетический критерий. Оба этих критерия основаны на гипотезе, по которой процесс разрушения зависит главным образом от изменения формы элемента тела.

При достижении потенциальной энергией формоизменения элемента тела предельного состояния наступает его разрушение или переход к пластической деформации.

Если , то из условия (2.80) следует обобщенный критерии Мора . Используя формулы разд. .2, критерий (2.80) можно сформулировать в терминах максимального касательного и нормального напряжений:

.

Например, относительно главных координатных осей при условии , обобщая соотношение (2.71), можно принять

.

Иногда в качестве критерия разрушения используются ограничения деформаций.

Изучая механическое поведение горных пород, надо иметь в виду присущие им важные особенности: с одной стороны, деформационную и прочностную анизотропию, обусловленную слоистостью, сланцеватостью или направленной трещиноватостью их строения, а с другой – наличием пор или трещин, заполненных пластовой жидкостью, газом или их смесью.

4. При изучении анизотропии горных пород чаще всего ограничиваются изучением свойств горных пород в плоскости, параллельной напластованию, и плоскости, перпендикулярной к напластованию, считаю любое из направлений в этих плоскостях эквивалентным в отношении механических свойств.

Такие тела принято называть трансверсально-изотропными. Ниже приведены упругие постоянные некоторых горных пород, заимствованные из разных литературных источников: Е, Е’ – модули Юнга по направлениям, параллельным напластованию и перпендикулярным к ним; v, v’ – коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие в плоскости напластования при сжатии в той же плоскости и в направлении, перпендикулярном к ней.

Если координатная плоскость выбрана параллельно плоскости напластования, а ось - перпендикулярно к ней, то обобщенный закон Гука записывается в виде:

(2.81)

где - модули сдвига в плоскости и в перпендикулярных к ней плоскостях.

Упругие постоянные горных пород	МПа	МПа
Алевролит	6,21	5,68	0,29	0,26
Глинистые сланцы	3,16	1,54	0,22	0,22
Песчаник	1,57	0,96	0,21	0,28
Песчанистый сланец	1,07	0,52	0,41	0,20

Для большинства горных пород модули сдвига рекомендуется вычислять по формулам

,

где - основной параметр анизотропии.

Упругие постоянные анизотропных тел не инварианты относительно поворота системы координат, т.е. при изменении направления осей координат закон Гука видоизменяется.

Уравнения (2.81) не изменятся только при повороте координатной плоскости вокруг оси . В остальных случаях они видоизменяются.

Известно, что прочность горных пород на сжатие существенно отличается от прочности на растяжение или сдвиг. Кроме того, прочность может зависеть от направления сжатия, растяжения и сдвига относительно плоскостей напластования. Поэтому, используя результаты нескольких простых опытов, отличающихся видом напряженного состояния и направлением нагружения относительно плоскостей напластования, необходимо определить уравнение предельной поверхности данной горной породы. Для этой цели можно воспользоваться каким-либо обобщенным критерием для анизотропных тел.

Сравнительно простым критерием прочности может служить:

, (2.82)

который представляет собой обобщение критерия Мора (4.6) относительно главных направлений.

Для хрупкого тела, подчиняющегося этому условию, должно выполняться следующее соотношение между пределами прочности на растяжение и сжатие в плоскости напластования и направлении , перпендикулярном к ней:

.

Постоянные А, В и С связаны с пределами прочности формулами вида

Предложены и более сложные критерии разрушения анизотропных тел, содержащие большое число констант, подлежащих определению на основании опытных данных. Однако использование их вряд ли возможно из-за больших трудностей в проведении опытов.

Из (2.82) как частный случай следует критерий прочности для изотропных тел :

, (2.82’)

где .

Этот критерий является одним из весьма полезных разновидностей общего критерия (2.80) для оценки прочности горных пород и цементного камня.

5. Наиболее полное изучение механических свойств горных пород, учитывающее влияние порового (пластового) давления, осуществляется путем трехосного компрессионного испытания, принципиальная схема которого показана на рис. 15, а. Цилиндрический образец диаметром d = 10 – 30 мм и высотой l = 1 – 3d упаковывают в непроницаемую оболочку и помещают в специальную толстостенную стальную камеру, где поддерживаются необходимое всестороннее давление и температура ºС. Поровое давление поднимается до желаемого значения волюмометром. Осевое дополнительное (дифференциальное) напряжение передается гидравлическим или винтовым прессом через поршень, который входит в верхнюю часть камеры. Изменение свободного объема порового пространства регулируется движением поршня в камере волюмометра, предназначенного для поддержания постоянного порового давления во время деформации образца.

Рис. 15. Схема экспериментального изучения деформационных свойств горных пород

В испытаниях на сжатие или растяжение дифференциальное давление накладывается на гидростатическое , поэтому напряженное состояние в каждой точке образца определяется тремя главными компонентами (рис. 15, б) .

6. Опытами доказано, что деформация объема и величина предельного напряжения горной породы зависят исключительно от эффективных напряжений

,

где - коэффициент порового давления, характеризующий различную сопротивляемость скелета породы растяжению и сжатию; - модули объемной деформации расширения и сжатия соответственно. В это же время установлено, что изменение формы элемента тела не зависит от порового давления.

Следовательно, для учета поровых (пластовых) давлений необходимо во всех приведенных выше уравнениях состояния и критериях прочности нормальные напряжения и среднее давление заменить эффективными напряжениями и , оставив без изменения касательные напряжения .

Например, закон Гука (2.75) и критерий прочности (2.80) перепишутся в виде

; (2.75’)

. (2.80’)

В таком случае все исходные уравнения, включая и уравнения движения (2.9), будут содержать суммарные (тотальные) напряжения . Однако можно поступить иначе: сохранить прежний вид уравнений состояния и предельной поверхности, но дополнить уравнения движения объемной силой, равной . В этом случае под напряжениями следует понимать эффективные напряжения. Ясно, что оба подхода эквивалентны.

Для глин и глинистых пород, склонных к набуханию, компоненты деформации в уравнениях состояния (2.75’) необходимо дополнить слагаемыми , где - коэффициент объемного расширения при увлажнении породы; - начальная и текущая влажность породы.

Аналогично учитывается расширение (сжатие) любого твердого тела при нагревании (охлаждении) введением в уравнения состояния слагаемых , где - коэффициент объемного расширения при нагревании; ºС, ºС – начальная и текущая температура тела.

§ 7. ВРЕМЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И КРИТЕРИИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ

Вязкие (или реологические) свойства твердых тел устанавливаются главным образом по данным опытов на ползучесть. Ползучестью называется накапливание деформации во времени при постоянном напряжении.

Рис. 16. Общий вид кривой ползучести

На рис. 16 показана типичная кривая ползучести при фиксированном эффективном напряжении сжатия (или растяжения) и определенных внешних условиях (температура, давление, влажность). На этой кривой выделяют условно три стадии ползучести:

АВ – неустановившаяся, она характеризуется уменьшением скорости деформации;

ВС – установившаяся, скорость постоянная;

СД – прогрессирующая, скорость деформации растет вплоть до момента разрушения.