Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Привести пример.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство: .

Пример: Система линейных уравнений:

Определители:

.

Решение: .

5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Привести пример.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Описание метода:Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица А называется основной матрицей системы, b— столбцом свободных членов.Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные , называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):

Где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности:Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Пример: Система

Обнулим коэффициенты при Х во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и -1, соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при У в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4 :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное ;

из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Достоинства метода:

1)Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.

2)Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.

3)Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

6. Определение функции. Раскрыть понятие обратной, сложной, элементарной функций и экспоненты. Функция (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в .Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называется аргументом функции или независимой переменной, множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу — частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения.

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

1) для всех

2) для всех

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу: .

.Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f1(y1), y1 = f2(y2), …, yn-1 = fn(x), то

Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций: (многочлен (полином), рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.

Экспонента— показательная функция , где e — основание натуральных логарифмов ( ).Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора: или через предел: .

Здесь x — любое комплексное число.