Жазытытаы тзу тедеулері.

Тзулерді тедеулері

1-сурет
Жазытытаы тзу (1-сурет) Оу осін В(0;b) нктесінде иып, Ох осімен (0< < ) брыш жасасын. Тзу бойынан андай да бір М(х,у) нкте алайы. Тзуді Ох осімен жасаан брышыны тангенсін ВМК шбрышынан табамыз:

 

(1)

 

деп белгілеп, тзуді брышты коэффициентідеп атау абылданан. Сонымен:

.

Осы атынастан у-ті тапса:

y=kx+b (2)

 

Тзу бойында жатан кез келген нктені координатасы (2) тедеуді анааттандырады да тзуден тыс жатан нктелер бл тедеуді анааттандырмайды.

(2) тедеу тзуді брышты коэффициентімен берілген тедеуі деп аталады.

Дербес жадайларын арастырайы.

1. Тзуді брышты коэффициентімен берілген тедеуіндегі b=0 болсын. Онда тзу тедеуі y=kx трге келеді де, тзу координат басынан теді (2-сурет)

 

x=a
2-сурет 3-сурет 4-сурет  
2. Егер болса, онда болады да, тзу тедеуі y=b трге келеді де, тзу Ох осіне параллель болады (3-сурет). Ал Ох осіні тедеуі y=0 болады.

3. Егер болса, онда мні болмайды, тзу Ох осіне перпендикуляр болады. Айталы тзу Ох осінен а те кесінді иып теді, сонда тзу тедеуі х=а трде болады (4-сурет). Ал Оу осіні тедеуі х=0 болады.

Мынадай теорема айтуа болады.

Теорема. Тік брышты координаталар жйесінде кез келген тзу бірінші ретті тедеумен беріледі

Ах+Ву+С=0 (3)

Жне керісінше, (3) тедеу (А, В, С коэффициенттерді брі бір мезгілде нолге те болмаан кезде) тік брышты координаталар жйесінде андай да бір тзуді анытайды.

(3) тедеуді детте тзуді жалпы тедеуі деп атайды.

Берілген баыт жне берілген нкте арылы ткен тзу тедеуі.Кп жадайда тзу тедеуін оны бойында жатан белгілі нкте мен k брышты коэффициенті арылы жазу керек болады (5-сурет).

5-сурет 6-сурет  

Тзу тедеуін (2) трінде жазайы, y=kx+b, мндаы b зірше белгісіз. Тзу нктесі арылы тетіндіктен, нкте координатасы тзу тедеуін анааттандыруы керек: y1=kx1+b.Осы тедіктен белгісіз b табылады, b = y1 - kx1. Табылан мнді тедеудегі орнына ойып, берілген баыт жне берілген нкте арылы ткен тзу тедеуін аламыз:

y =k(x – x1)+ y1 (4)

 

Егер (4) тедеудегі k ерікті мн абылдаса, онда тедеу нктесі арылы тетін тзулер шоыны тедеуін анытайды (6-сурет).

7-сурет
Берілген екі нкте арылы ткен тзу тедеуі. жне нктелері берілсін. АВ тзуіні тедеуін жазу шін А нктесі арылы ткен тзулер шоыны тедеуін жазамыз:

 

y =k(x – x1)+ y1.

 

АВ тзуі нктесі арылы тетіндіктен, нкте координатасы тзу тедеуін анааттандыруы керек: y2 =k(x2 – x1)+ y1. Осы тедіктен белгісіз k табылады, . Табылан мнді тедеудегі орнына ойып, берілген екі нкте арылы ткен тзу тедеуін аламыз:

(5)

8-сурет
Тзуді «кесіндідегі» тедеуі.Тзу Ох осінен а-а те, Оу осінен b-а те кесінді иып тсін (8-сурет). Тзу А(а;0) жне В(0;b) нктелері арылы теді деп, (5) тедеуді олданайы. Сонда тзу тедеуі мынадай трде жазылады:

 

Енді ышамдаса, тзуді “кесіндідегі” тедеуін аламыз:

 

(6)

 

Екі тзу арасындаы брыш.Екі тзу берілсін: y=k1x+b1, y=k2x+b2. Мндаы , . Екі тзу арасындаы брышты табу керек (9-сурет).

9-сурет
Суреттен крініп трандай . Осыдан

 

 

немесе

 

(7)

(7) формула берілген екі тзу арасындаы брышты анытайды. Ал екінші брыш те болады.

Екі тзуді параллелдік жне перпендикулярлы шарты.Егер екі тзу параллель болса, онда =0 болады да tg =0. Бл жадайда (7) формула мынадай трге келеді: k2 – k1 = 0. Осыдан екі тзуді параллелдік шарты шыады:

 

k2 = k1 , (8)

 

яни екі тзуді брышты коэффициенттері те болса, ол тзулер параллель болады жне керісінше.

Егер екі тзу перпендикуляр болса, онда болады да, , . Осыдан екі тзуді перпендикулярлы шарты шыады:

 

k2 = , (9)

 

яни екі тзуді брышты коэффициенттері мндері бойынша кері, табалары бойынша арама-арсы болса, ол тзулер перпендикуляр болады жне керісінше.

10.Екінші ретті исытар:

1. Эллипс.Фокустар деп аталатын берілген екі нктеден ашытытарынь осындысы рашанда траты шама болатын жазытытаы нктелерді геометриялык орындарын эллипс деп атайды (9-сызба). Анытама бойынша F1M + F2M = 2a

нктелер,


М{х, у) -эллипсті бойындаы кез келген жылжымалы нкте,

2а-траты шама

 

Егер F1F2= 2с десек,ондаF1(-C;0), F2(C;0).Сонда:

 

Енді осы мндердіойса:

Немесе

Егер а>с болса, ондаа2 —с2=b2 болады. Сондытан эллипсті канонды тедеуі деп аталатын тедеуге келеміз:

 

Мндаы х пен у эллипсті кез келген жылжымалы нктесіні координаттары, а -эллипсті лкен жарты oci, b -онын кіші жарты oci.

Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтерді иылысатын нуктесі эллипсті цeнтpi болады.

атынасын эллипсті эсцентриситеті деп атайды жне оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с боландьтан l <1 немесе

Эллипсті лкен осіне перпендикуляр тузулерді ішінде 6ipтзуді эллипсті кші осінен ашытыты d рашанда а/l атынасына те траты шама болса, онда мндай тузудіэллипсті директрисасы деп атайды. Директрисаларды тендеу .Эллипс шін l <1 боландьтан .

Сондытан эллипсті дериктрисалары оны сыртында жатады.

Егер a=b болса, онда шебер эллипсті дерпбес жадайы болады. Бл жадайда с=0, ендеше шеберді эксцентриситеті нлге те.

3. Гипербола.Фокустар деп аталатын берілген екі нктеден
ашытытарыны айырмасы рашанда траты шама болатын
жазытыктаы нктелерді геометриялы орындарын гипербола деп атайды.

5. Парабола. Фокус деп аталатын

берілген нктеден жне

директриса деп аталатын берілген

тзуден ара ашытытары бірдей

болатын жазытытарды

нктелері геометриялык орындарын

парабола дейді Берілген F

нуктесіні координаталарын былай белгілейді



*

 


Координаталарды бас нктесінен Р/2 ашытытаы ординат осіне параллель берілген

тузуді параболаны директрисасы дейді.

М(х,у) - параболаны бойындаы кез келген жылжымалынкте.

Анытама бойынша

FM=ME

Екі нктені ара ашытыгынь формуласы бойынша

осы мндерді апарып ойып, шыан рнекті трлендірсек, параболаны канонды тедеуі шыады:

у2=2рх

мндагы р -берілген фокус пен директрисаны арасындаы ашыты, х пен у - параболаны бойындаы кез келген жылжымалы нуктені координатасы.

Параболаны эксцентриситеті:

Параболаны директрисасыны тедеуі: