Кері матрица.Матрица рангісі

квадрат матрица арастырайы.

1.Анытама.Анытауышы нолге те матрицаерекше, ал нолге те емес матрицаерекше емес матрицадеп аталады.

Кез келген сан шін мына тедігін анааттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица шін де осындай ым енгіземіз.

Анытама.А квадрат матрица шін мына

тедікті анааттандыратын матрица А матрицаныкері матрицасыдеп аталады.

Кері матрицаны мына формуламен табады:

,

мндаы -матрица анытауышы, ал -берілген матрицаны элементтеріні алгебралы толытауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.

Кез келген квадрат матрицаны кері матрицасы бола бермейді.

Теорема(кері матрица болуыны ажетті жне жеткілікті шарты). Матрицаны кері матрицасы болуы шін ол ерекше емес ( ) матрица болуы ажетті жне жеткілікті.

Мысал. матрицасыны кері матрицасын табу керек.

Шешуі. Алдымен анытауышын есептейік.

= = .

, яни кері матрица бар. Енді элементтерді алгебралы толытауыштарын есептейік.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Табылан мндерді формулаа ойып кері матрицаны табамыз.

.

Кері матрицаны дрыс табыландыын тедігін тексеру арылы кз жеткізуге болады:

.

Берілген матрицаа кері матрицаны элементар трлендірулер дісімен де табуа болады. Бл діс матрицаа элементар трлендірулер олдануа сйенеді. Матрицаны элементар трлендірулері деп мынадай трлендірулерді айтамыз:

1) Матрицаны транспонерлеу;

2) Жолдарды орнын алмастыру;

3) андай да бір жолды барлы элементтерін нолден зге сана кбейту;

4) андай да бір жолды барлы элементтерін нолден зге сана кбейтіп баса жолды сйкес элементтеріне осу;

5) Барлы элементі ноль болатын жолды алып тастау.

Енді кері матрица табу ережесіне кшейік: Берілген матрицаны о жаына бірлік матрица жалап жазу керек. Сонда лшемді кеейтілген матрица пайда болады. В матрицаа А матрицасыны орнында бірлік матрица пайда болана дейін жаты жолдарына элементар трлендірулер жасалады. Нтижесінде бірлік матрицаны орнында кері матрица пайда болады.

Мысалы, жоарыдаы арастырылан матрицаны кері матрицасын осы діспен тауып крейік. Берілген матрицаны о жаына бірлік матрица жазып, элементар трлендірулер жргіземіз.

.

Соында бірлік матрицаны орнында пайда болан матрица кері матрица болады: .

Ерекше емес матрицалар шін мынадай асиеттер дрыс болады:

1) , 2) ,

3) , 4) .

МАТРИЦА РАНГІСІ

mxn лшемді А матрицаны бірнеше жаты жне тік жолдарын сызып тастап k лшеміді, k min(m,n), квадрат матрица алуа болады. Осы квадрат матрица анытауышы берілген матрицаны k лшемді минорыдеп аталады. матрицаны k-лшемді минорлар саны болады.

Анытама.Матрицаны нолге те емес минорларыны е лкен реті матрица рангісі деп аталады:

r=r(A)= rangA .

Анытамадан бірден мынадай тжырымдар жасауа болады:

1. матрицасыны рангісі оны лшемдеріні кішісінен артпайды:

r(A) min(m,n).

2. Барлы элементтері ноль боланда ана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.

3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес боланда матрица рангісі n–ге те болады.

Мысал. матрицаны рангісін есептейік.

Шешуі. Матрица лшемі 3х4 боландытан, оны рангісі 3-тен артпайды, r(A) min(3,4). Егер шінші ретті минорларды е болмаанда біреуі нолден згеше болса, онда матрица рангісі 3-ке те болады. шінші ретті минорлар матрицаны бір тік жолын сызып тастаанда пайда болады:

, , , .

шінші ретті минорларды брі нолге те боландытан, ранг 3-ке те бола алмайды. Енді екінші ретті минорларды ішінен (оларды саны ) е болмаанда бір нолге те емес минор тапса, матрица рангісі 2-ге те болады. Екінші ретті минорлар матрицаны бір жаты, екі тік жолын сызып тастаанда пайда болады. Айталы бірінші жаты жол мен бірінші жне екінші тік жолдарды сызып тастаанда пайда болатын мына минор: , сондытан r(A)=2.

Матрица лшемі артан сайын оны рангісін барлы нолден зге минорларды есептеу жолымен анытау иындайды. Матрица рангісін элементар трлендірулер дісімен табу ондай иындытардан тарады.